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Bijektive Funktion – Wikipedia

Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der Begriff eineindeutig bzw. Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre. Er bezeichnet eine spezielle Eigenschaft von Abbildungen und Funktionen. Bijektive Abbildungen und Funktionen nennt man auch Bijektionen. Die zu einer mathematischen Struktur auftretenden Bijektionen haben oft eigene Namen wie Isomorphismus, Diffeomorphismus, Homöomorphismus, Spiegelung oder Ähnliches. Hier sind dann in der Regel noch zusätzliche Forderungen in Hinblick auf die Erhaltung der jeweils betrachteten Struktur zu erfüllen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmengen und Zielmengen stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge dieselbe Mächtigkeit, im Falle endlicher Mengen also gleich viele Elemente.

Die Bijektion einer Menge auf sich selbst heißt auch Permutation. Auch hier gibt es in mathematischen Strukturen vielfach eigene Namen. Hat die Bijektion darüber hinausgehend strukturerhaltende Eigenschaften, spricht man von einem Automorphismus.

Eine Bijektion zwischen zwei Mengen wird manchmal auch eine bijektive Korrespondenz genannt.^[1]^[2]

Seien $X$ und $Y$ Mengen und sei $f$ eine Abbildung oder eine Funktion, die von $X$ nach $Y$ abbildet, also $f\colon X\to Y$ . Dann heißt $f$ bijektiv, wenn für alle $y\in Y$ genau ein $x\in X$ mit $f\left(x\right)=y$ existiert, formal: $\forall y\in Y:\exists !x\in X:\quad f(x)=y$ .

Das bedeutet: $f$ ist bijektiv dann und nur dann, wenn $f$ sowohl

(1) injektiv ist:

Kein Wert der Zielmenge $Y$ wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das Urbild jedes Elements der Zielmenge $Y$ besteht aus höchstens einem Element von $X$ . Aus $f(x_{1})=f(x_{2})$ folgt daher immer $x_{1}=x_{2}$ .

als auch

(2) surjektiv ist:

Jedes Element der Zielmenge $Y$ wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge $Y$ und die Bildmenge $f(X)$ stimmen überein, also $f\left(X\right)=Y$ . Für jedes $y$ aus $Y$ existiert daher (mindestens) ein $x$ aus $X$ mit $f(x)=y$ .

Das Prinzip der Bijektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird genau einmal getroffen.
Vier bijektive streng monoton steigende reelle stetige Funktionen.
Vier bijektive streng monoton fallende reelle stetige Funktionen.

Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit $\mathbb {R}$ bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit $\mathbb {R} _{0}^{+}$ .

Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions- bzw. Wertemengen:

$f_{1}\colon \mathbb {R} \ \ \rightarrow \mathbb {R} ,\ \ \ x\mapsto x^{2}$

$f_{2}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ \ \ x\mapsto x^{2}$

$f_{3}\colon \mathbb {R} \ \ \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ x\mapsto x^{2}$

$f_{4}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ x\mapsto x^{2}$

Mit diesen Definitionen ist

$f_{1}$ nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

$f_{2}$ injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

$f_{3}$ nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv

$f_{4}$ injektiv, surjektiv, bijektiv

$g\circ f=\operatorname {id} _{A}$ ( $\operatorname {id} _{A}$ = Identität auf der Menge $A$ )

$f\circ g=\operatorname {id} _{B}$ ( $\operatorname {id} _{B}$ = Identität auf der Menge $B$ )

erfüllt, dann ist $f$ bijektiv, und $g$ ist die Umkehrfunktion von $f$ , also $g=f^{-1}$ .

Nachdem man lange mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam schließlich Mitte des 20. Jahrhunderts im Zuge der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Die Begriffe bijektiv, injektiv und surjektiv wurden in den 1950ern von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki geprägt.^[3]

Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg [u. a.] 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.
Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0.

↑ Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie. Springer, 1981, ISBN 3-540-10603-0, hier S. 94 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Juni 2017]).
↑ Gernot Stroth: Algebra: Einführung in die Galoistheorie. de Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-015534-6, hier S. 100 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Juni 2017]).
↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.