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Limes (Kategorientheorie) – Wikipedia

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In der Algebra oder allgemeiner der Kategorientheorie ist der projektive Limes (oder inverse Limes oder einfach Limes) eine Konstruktion, mit der man verschiedene in gewisser Weise zusammengehörende Strukturen verbinden kann. Das Ergebnis dieses Verbindungsvorgangs wird vor allem bestimmt von Abbildungen zwischen diesen Strukturen.

Die folgende Konstruktion definiert den Limes für Mengen oder beliebige algebraische Strukturen, die mithilfe von Limites (Produkten, Endobjekten, Differenzkernen) definiert sind. Als Beispiel werden Gruppen behandelt.

Gegeben seien eine halbgeordnete Menge $(I,>)$ ,^[1] für jedes $i\in I$ eine Gruppe $X_{i}$ und für je zwei Indizes $i,j\in I$ mit $i>j$ ein Gruppenhomomorphismus

$f_{ij}\colon X_{i}\to X_{j}.$

Diese Homomorphismen seien außerdem verträglich in dem Sinne, dass für $i>j>k$ gilt:

$f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$

(„um von $i$ nach $k$ zu kommen, kann man auch einen Umweg über $j$ nehmen“).

Der projektive Limes $\varprojlim _{i\in I}X_{i}$ ist die Menge aller Familien $(x_{i})_{i\in I}$ mit $x_{i}\in X_{i}$ mit der Eigenschaft

$f_{ij}(x_{i})\,=\,x_{j}$ für $i>j$ .

Durch die komponentenweise Definition seiner Verknüpfung über die Verknüpfungen in den Komponenten $X_{i}$ wird $\varprojlim _{i\in I}X_{i}$ zu einer Gruppe.

Der projektive Limes $\varprojlim _{i\in I}X_{i}$ zusammen mit den Homomorphismen

$\mathrm {pr} _{i}\colon \varprojlim _{j\in I}X_{j}\to X_{i},\quad (x_{j})_{j\in I}\mapsto x_{i},$

den kanonischen Projektionen, hat die folgende universelle Eigenschaft:

Für jede Gruppe $T$ und Homomorphismen $t_{i}\colon T\to X_{i}$ , für die $t_{j}=f_{ij}\circ t_{i}$ für alle $i>j$ gilt, existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus $c\colon T\to \varprojlim _{i\in I}X_{i}$ , so dass $t_{i}=\mathrm {pr} _{i}\circ c$ gilt.

Kommutatives Diagramm zur Definition des Limes in der Kategorientheorie

Mithilfe des Begriffs des projektiven Limes für Mengen kann man projektive Limites in beliebigen (lokal kleinen) Kategorien definieren: Sind Objekte $X_{i}$ einer Kategorie $C$ und Übergangsmorphismen $f_{i,j}$ gegeben, so ist der Limes dieses projektiven Systems (auch inverses System) charakterisiert durch eine natürliche Äquivalenz

$\operatorname {Hom} _{C}(T,\lim X_{i})=\lim \operatorname {Hom} _{C}(T,X_{i})$

von Funktoren in $T$ ; dabei ist der Limes auf der rechten Seite der bereits definierte Limesbegriff für Mengen. Der derartig definierte Limes erfüllt die analoge universelle Eigenschaft.

Für "einfache" algebraische Strukturen wie Vektorräume, Gruppen oder Ringe stimmt dieser Limesbegriff mit dem oben definierten, mengenbasierten überein.

Es gibt jedoch Kategorien, in denen projektive Limites nicht existieren, beispielsweise die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen: Es sei $(X_{i},f_{i,j})$ das projektive System

$\ldots \to (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{3}\to (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{2}\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

mit der Projektion auf die ersten Faktoren als Übergangsabbildungen. Für $T:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ist

$\lim \operatorname {Hom} (T,X_{i})$

unendlich, also nicht gleich

$\operatorname {Hom} (T,L)$

für irgendeine endliche abelsche Gruppe $L$ .

Die proendliche Vervollständigung ${\hat {\mathbb {Z} }}$ des Rings der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist der projektive Limes der Restklassenringe $X_{m}\;:=\;\mathbb {Z} /m$ , wobei die Indexmenge $I\;:=\;\mathbb {N}$ mit der Halbordnung der Teilbarkeit versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind. Genauer: Sind $m,n\in \mathbb {N}$ mit $m\mid n$ , dann sind die Restklassenabbildungen $f_{nm}\colon \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m$ wie oben ein verträgliches System von Homomorphismen. ${\hat {\mathbb {Z} }}$ erweist sich als das direkte Produkt $\prod _{p\in \mathbb {P} }\mathbb {Z} _{p}$ (Addition und Multiplikation gehen komponentenweise, letztere mit Nullteilern).
Die natürliche Topologie auf ${\hat {\mathbb {Z} }}$ ist die von der diskreten Topologie auf den $\mathbb {Z} /m$ induzierte Produkttopologie, und $\mathbb {Z}$ ist dicht in ${\hat {\mathbb {Z} }}$ .

Beweis der Dichtheit von $\mathbb {Z}$ in ${\hat {\mathbb {Z} }}$
Für die Zwecke des Beweises werden die Primzahlen durchnummeriert: $\{p_{i}\vert i\in \mathbb {N} \}:=\mathbb {P}$ . Die Einbettung $\iota \colon \mathbb {Z} \to {\hat {\mathbb {Z} }}$ wirft eine ganze Zahl $m$ in jedem Faktorraum $\mathbb {Z} _{p_{i}}$ an die Stelle $m$ : $\iota (m)=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ mit $x_{i}:=m$ für jedes $i\in \mathbb {N} .$ Sei $x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ein Element aus ${\hat {\mathbb {Z} }}$ . Für jedes $i\in \mathbb {N}$ ist $x_{i}=:\sum _{\nu =0}^{\infty }{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\in \;\mathbb {Z} _{p_{i}}$ eine $p_{i}$ -adische ganze Zahl. Die approximierende Folge sei $(y_{n})_{n\geq 1}$ mit $y_{n}\in \mathbb {Z}$ . Ein Folgenglied $y_{n}$ approximiert $x$ mit der Approximationsgüte $n$ , wenn die folgenden Kongruenzen für $1,\ldots ,i,\ldots ,n$ ${\begin{array}{llll}y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-1}&{x_{1,\nu }\,p_{1}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{1}^{n}\\y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-i}&{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{i}^{n-i+1}\\y_{n}&\equiv &x_{n,0}&\operatorname {mod} p_{n}\end{array}}$ simultan gelten. Das ist machbar, weil die Moduln $p_{i}^{n-i+1}$ paarweise teilerfremd sind. Zu jedem $i$ und $m$ gibt es eine Approximationsgüte $n\geq i+m$ , so dass $y_{n}\;\equiv \;\sum _{\nu =0}^{m}{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\operatorname {mod} p_{i}^{m+1}$ . Die Komponente $x_{i}$ kann also beliebig, nämlich auf $\operatorname {mod} p_{i}^{m+1}$ genau approximiert werden. Mithin konvergiert die Folge $(y_{n})_{n\geq 1}$ für $n\to \infty$ gegen $\lim _{n\to \infty }y_{n}=x$ . ■

Beweis der Dichtheit von $\mathbb {Z}$ in ${\hat {\mathbb {Z} }}$

Für die Zwecke des Beweises werden die Primzahlen durchnummeriert: $\{p_{i}\vert i\in \mathbb {N} \}:=\mathbb {P}$ . Die Einbettung $\iota \colon \mathbb {Z} \to {\hat {\mathbb {Z} }}$ wirft eine ganze Zahl $m$ in jedem Faktorraum $\mathbb {Z} _{p_{i}}$ an die Stelle $m$ :
$\iota (m)=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ mit $x_{i}:=m$ für jedes $i\in \mathbb {N} .$
Sei $x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ein Element aus ${\hat {\mathbb {Z} }}$ . Für jedes $i\in \mathbb {N}$ ist $x_{i}=:\sum _{\nu =0}^{\infty }{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\in \;\mathbb {Z} _{p_{i}}$ eine $p_{i}$ -adische ganze Zahl.
Die approximierende Folge sei $(y_{n})_{n\geq 1}$ mit $y_{n}\in \mathbb {Z}$ . Ein Folgenglied $y_{n}$ approximiert $x$ mit der Approximationsgüte $n$ , wenn die folgenden Kongruenzen für $1,\ldots ,i,\ldots ,n$
${\begin{array}{llll}y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-1}&{x_{1,\nu }\,p_{1}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{1}^{n}\\y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-i}&{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{i}^{n-i+1}\\y_{n}&\equiv &x_{n,0}&\operatorname {mod} p_{n}\end{array}}$
simultan gelten. Das ist machbar, weil die Moduln $p_{i}^{n-i+1}$ paarweise teilerfremd sind.
Zu jedem $i$ und $m$ gibt es eine Approximationsgüte $n\geq i+m$ , so dass $y_{n}\;\equiv \;\sum _{\nu =0}^{m}{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\operatorname {mod} p_{i}^{m+1}$ . Die Komponente $x_{i}$ kann also beliebig, nämlich auf $\operatorname {mod} p_{i}^{m+1}$ genau approximiert werden. Mithin konvergiert die Folge $(y_{n})_{n\geq 1}$ für $n\to \infty$ gegen $\lim _{n\to \infty }y_{n}=x$ . ■

In Verallgemeinerung des Limes für teilgeordnete Indexmengen kann man Limites für beliebige Indexkategorien betrachten:

Es sei $I$ eine kleine Kategorie, $C$ eine beliebige Kategorie und $X\colon I\to C$ ein Funktor. Dann ist ein Limes von $X$ ein darstellendes Objekt für den Funktor

$C^{\mathrm {op} }\to \mathrm {(Mengen)} ,\quad T\mapsto \mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} (I,C)}(\mathrm {const} _{T},X);$

dabei bezeichne $\mathrm {const} _{T}$ den konstanten Funktor $I\to C$ mit Wert $T$ . Der Limes ist also ein Objekt $L$ zusammen mit einer natürlichen Äquivalenz

$\mathrm {Mor} _{C}(T,L)=\mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} (I,C)}(\mathrm {const} _{T},X)$

von Funktoren in $T$ .

Aus dieser natürlichen Äquivalenz erhält man für $T=L$ auch die kanonischen Projektionen $L\to X(i)$ (als Entsprechung von $id_{L}$ auf der linken Seite).

Die natürliche Äquivalenz ist im Wesentlichen nur eine kompakte Schreibweise der universellen Eigenschaft: Morphismen in ein Limesobjekt entsprechen kompatiblen Systemen von Morphismen in die einzelnen Objekte, genau wie im Spezialfall von teilgeordneten Indexmengen.

Dieser Limesbegriff umfasst einige andere universelle Konstruktionen als Spezialfälle:

$I$	universelle Konstruktion
Beliebig viele Objekte, nur Identitäten	Produkt
$\varnothing$	Endobjekt
	Differenzkern
	Faserprodukt

Hat die Indexkategorie ein Anfangsobjekt $A$ , so ist der Limes gleich $X(A)$ .

Kolimes

↑ Manche Autoren definieren den projektiven Limes nur im Fall, wo $(I,>)$ gerichtet ist. Für die in diesem Artikel vorgestellten grundlegenden Eigenschaften des Limes in abstrakten Kategorien ist diese Forderung unnötig. Sie kann aber bei topologischen Fragestellungen erforderlich sein. Jon Brugger: Pro-endliche Gruppen Bemerkung 3.5