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Reflexive Relation – Wikipedia

Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

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Die Reflexivität einer zweistelligen Relation {\displaystyle R} auf einer Menge ist gegeben, wenn {\displaystyle xRx} für alle Elemente {\displaystyle x} der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt {\displaystyle R} dann reflexiv.

Eine Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung {\displaystyle xRx} für kein Element {\displaystyle x} der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind, wenn die Beziehung {\displaystyle xRx} für einige Elemente {\displaystyle x} der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Ist {\displaystyle M} eine Menge und {\displaystyle R\subseteq M\times M} eine zweistellige Relation auf {\displaystyle M}, dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

{\displaystyle R} ist reflexiv :{\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:xRx}
{\displaystyle R} ist irreflexiv :{\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:\neg \ xRx}

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

{\displaystyle xRy:\Longleftrightarrow y=x^{2}}

Grund: Für {\displaystyle x:=1} gilt {\displaystyle xRx}, für {\displaystyle x:=2} gilt {\displaystyle \neg xRx}.

Jede beliebige Relation {\displaystyle R} auf einer Menge {\displaystyle M} kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von {\displaystyle M}. Vom Knoten {\displaystyle a} zum Knoten {\displaystyle b} wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil {\displaystyle a\longrightarrow b}) gezogen, wenn {\displaystyle aRb} gilt.

Die Reflexivität von {\displaystyle R} lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten {\displaystyle a} gibt es eine Schleife {\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}}. Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten {\displaystyle a} eine Schleife {\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}} gibt.

  • Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.