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Trapezregel – Wikipedia

Die Trapezregel beschreibt ein mathematisches Verfahren zur numerischen Annäherung des Integrals einer Funktion $f(x)$ im Intervall $[a,b]$ (Numerische Integration).

Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve $y=f(x)$ im gegebenen Intervall durch ein Trapez oder mehrere gleich breite Trapeze.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung dieser Trapeze: Man kann die Kurve zum Beispiel näherungsweise durch eine Sehne zwischen den Funktionswerten an den Stellen $a$ und $b$ ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel. Man kann aber auch in der Mitte des Intervalls die Tangente an die Funktion legen und erhält dann die Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel.

$J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}\,\mathrm {d} x={\frac {3^{3x-2}}{\ln(3)}}{\Big |}_{0}^{2}={\frac {728}{9\ln(3)}}=73{,}6282396649\dots$

Mit Hilfe der im Folgenden erklärten Trapezformeln soll dieses bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden.

$J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=T(f)+E(f).$

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie $[a,b]$ (dem Intervall auf der $x$ -Achse), den senkrechten Geraden $[a,f(a)]$ und $[b,f(b)]$ sowie der Sehne als Verbindungsgerade zwischen $f(a)$ und $f(b)$ . Diese Sehne ersetzt die Kurve $f(x),x\in [a,b]$ .

Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

$T(f)=(b-a)\cdot f(a)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cdot (f(b)-f(a))=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“.

Ist $f$ zweimal stetig differenzierbar in $[a,b]$ , dann gilt für das Restglied $E(f)$ folgende Abschätzung:

$\left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{3}}{12}}\max _{a\leq x\leq b}\left|f''(x)\right|.$

Ist $f$ zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle $\zeta \in [a,b]$

$E(f)=-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(\zeta ).$

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion $f(x)$ , wie in der obigen Abbildung des Sehnentrapezes, streng konkav ist, gilt $f''(x)<0$ für alle $x\in [a,b]$ und daher auch für die Zwischenstelle $\zeta \in [a,b]$ . Somit folgt, dass $E(f)=J(f)-T(f)>0$ , d. h. die gesuchte Fläche $J(f)$ ist größer als die Trapezfläche $T(f)$ , wie auch die Abbildung zeigt.

Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von $f(x)$ bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist. Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.

Angewandt auf obiges Beispiel:

$T(f)=(2-0){\frac {f(0)+f(2)}{2}}={\frac {730}{3}}=243{,}{\bar {3}}.$

Wegen $f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}>0$ folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche $J(f)$ kleiner ist als die Trapezfläche $T(f)$ , in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.

Veranschaulichung der summierten Sehnentrapezformel; es werden die Flächen von $n$ Rechtecken summiert und dann die Flächen der gelben Dreiecke addiert, deren einzelne Höhen sich zu $f(b)-f(a)$ addieren: $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih)+{\frac {1}{2}}h\left(f(b)-f(a)\right)$ ^[1]^[2]

{\displaystyle n} — Veranschaulichung der summierten Sehnentrapezformel; es werden die Flächen von $n$ Rechtecken summiert und dann die Flächen der gelben Dreiecke addiert, deren einzelne Höhen sich zu $f(b)-f(a)$ addieren: $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih)+{\frac {1}{2}}h\left(f(b)-f(a)\right)$ ^[1]^[2]

$J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=T^{(n)}(f)+E^{(n)}(f).$

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall $[a,b]$ in $n$ nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge $h={\tfrac {b-a}{n}}$ . In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel:

$T^{(n)}(f)=h\left({\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right)$

mit

$h={\frac {b-a}{n}}.$

Dabei werden die Funktionswerte an den $n-1$ Stützstellen $a+ih$ mit der vollen Breite $h$ der Teilintervalle und an den Intervallrändern mit der halben Breite $h/2$ multipliziert.

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite $h={\tfrac {1}{3}}$ und damit $n=6$ . Dann ist

${\begin{aligned}T^{(6)}(f)&={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2}}f(0)+f\left({\frac {1}{3}}\right)+f\left({\frac {2}{3}}\right)+f(1)+f\left({\frac {4}{3}}\right)+f\left({\frac {5}{3}}\right)+{\frac {1}{2}}f(2)\right)\\&={\frac {728}{9}}=80{,}{\bar {8}}.\end{aligned}}$

Sei die Schrittweite $h={\tfrac {1}{6}}$ und damit $n=12$ . Dann ist

${\begin{aligned}T^{(12)}(f)&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{2}}f(0)+f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {2}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+...+f\left({\frac {10}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)+{\frac {1}{2}}f(2)\right)\\&={\frac {T^{(6)}(f)}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)\\&={\frac {728+364{\sqrt {3}}}{18}}=75{,}4703608\dotso \end{aligned}}$

Man sieht hier den Vorteil der Sehnentrapezregel: Verdoppelt man die Anzahl der Intervalle, so kann auf die vorangegangene Rechnung zurückgegriffen werden. Das ist bei der Tangententrapezregel (s. u.) nicht der Fall. Das ist einer der Gründe, warum die Romberg-Integration auf der Sehnentrapezregel als Basis aufbaut.

Die allgemeine Formel lautet:

$T^{(2n)}(f)={\frac {T^{(n)}(f)}{2}}+{\frac {h}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right).$

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet

$\left|E^{(n)}(f)\right|\leq {\frac {(b-a)}{12}}h^{2}\max _{a\leq x\leq b}\left|f''(x)\right|$

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle $\zeta$ aus dem Intervall $[a,b]$

$E^{(n)}(f)=-{\frac {(b-a)}{12}}h^{2}f''(\zeta ).$

Der Faktor $h^{2}$ in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), wie es beim Romberg-Verfahren mit der Romberg-Folge der Fall ist, der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit $f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}$ folgt

$\max _{0\leq x\leq 2}\left|f''(x)\right|=3^{3\cdot 2+1}\cdot \ln(3)^{2}=3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}$

und somit die Fehlerabschätzung

$\left|E^{(6)}(f)\right|\leq {\frac {2}{12}}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{2}}=48{,}88\dots$ ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

$E^{(6)}(f)={\frac {728}{9}}\cdot {\frac {1-\ln(3)}{\ln(3)}}=-7{,}26\dots .$

Analog erhält man die Fehlerabschätzung

$\left|E^{(12)}(f)\right|\leq {\frac {2}{12}}\cdot \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{8}}=12{,}22\dots$ ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

$E^{(12)}(f)={\frac {182}{9\ln(3)}}\cdot (4-2\ln(3)-\ln(3){\sqrt {3}})=-1{,}842\dots .$

Es gilt

$\left|E^{(12)}(f)\right|=1,842\dots \approx {\frac {\left|E^{(6)}(f)\right|}{4}}={\frac {7{,}26\dots }{4}}=1{,}815\dots .$

Rechnet man die Sehnentrapezformel zweimal mit 2 verschiedenen Anzahlen von Intervallen $n\neq m$ , so erhält man folgende Fehlerschätzung:

$E^{(n)}(f)\approx {\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\left(T^{(m)}(f)-T^{(n)}(f)\right).$

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle $m=2n$ (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:

$E^{(n)}(f)\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)$

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

${\begin{aligned}E^{(6)}(f)=-7{,}26\dots &\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)\right)\\&={\frac {4}{3}}\left({\frac {728+364{\sqrt {3}}}{18}}-{\frac {728}{9}}\right)={\frac {2}{27}}(364{\sqrt {3}}-728)=-7{,}2247\dots .\end{aligned}}$

Wir bestimmen im Folgenden die Art des Fehlers der Trapezsumme $T$ und im Speziellen ihre Abhängigkeit von der Schrittweite $h$ , wobei das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ bestimmt werden soll.

Seien dazu

Dann gilt das folgende Fehlerverhalten für die Trapezsumme^[3]

$T_{n}(h)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{k=1}^{m}\tau _{2k}h^{2k}+R_{2m+2}(h)h^{2m+2}\,,$

wobei die folgenden Definitionen gelten

$\tau _{2k}={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\,,\quad R_{2m+2}(h)=-\int _{a}^{b}K_{2m+2}(t,h)f^{(2m)}(t)\,\mathrm {d} t\,.$

Weiterhin sind die $B_{2k}$ durch die Bernoulli-Zahlen gegeben und der Koeffizient des Resttermes $R$ kann gleichmäßig in $h$ abgeschätzt werden kann. Es gilt also

$\exists C_{2m+2}\geq 0\;\forall h={\frac {b-a}{n}}\,:\quad |R_{2m+2}(h)|\leq C_{2m+2}\,.$

$J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=M(f)+E(f).$

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie $[a,b]$ (dem Intervall auf der $x$ -Achse), den senkrechten Geraden $[a,f(a)]$ und $[b,f(b)]$ sowie der Tangente an $f(x)$ in der Mitte des Intervalls $[a,b]$ . Diese Tangente ersetzt die Kurve $f(x),x\in [a,b]$ .

Die Tangententrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

$M(f)=(b-a)\ f\left({\frac {a+b}{2}}\right).$

Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“.

Ist $f$ zweimal stetig differenzierbar in $[a,b]$ , dann gilt für das Restglied $E(f)$ folgende Abschätzung:

$\left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}.$

Ist $f$ zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle $\zeta \in [a,b]$ :

$E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}\cdot f''(\zeta ).$

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion $f(x)$ , wie in der obigen Abbildung des Tangententrapezes, streng konkav ist, gilt $f''(x)<0$ für alle $x\in [a,b]$ und daher auch für die Zwischenstelle $\zeta \in [a,b]$ . Somit folgt, dass $E(f)=J(f)-M(f)<0$ , d. h. die gesuchte Fläche $J(f)$ ist kleiner als die Trapezfläche $M(f)$ , wie auch die Abbildung zeigt.

Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von $f(x)$ bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist. Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.

Dreht man im obenstehenden Bild der Tangententrapezregel die Tangente im Punkt $(c,f(c))$ im Uhrzeigersinn bis man eine horizontale Gerade erhält, so entsteht ein Rechteck mit der gleichen Fläche. Die so erhaltene Regel (Mittelpunktsregel) ist somit eine andere geometrische Deutung der gleichen Quadraturformel.

Angewandt auf obiges Beispiel:

$M(f)=(2-0)\cdot f(1)=18.$

Wegen $f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}>0$ folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche $J(f)$ größer ist als die Trapezfläche $M(f)$ , in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.

$J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=M^{(n)}(f)+E^{(n)}(f).$

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall $[a,b]$ in $n$ nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge $h={\tfrac {b-a}{n}}$ . In jedem Teilintervall wendet man die Tangententrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Tangententrapezformel:

$M^{(n)}(f)=h\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right)$

mit

$h={\frac {(b-a)}{n}}.$

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite $h={\tfrac {1}{3}}$ und damit $n=6$

$M^{(6)}(f)={\frac {1}{3}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)={\frac {364{\sqrt {3}}}{9}}=70{,}05183266\dots$

Sei die Schrittweite $h={\tfrac {1}{6}}$ und damit $n=12$ . Dann ist

${\begin{aligned}M^{(12)}(f)&={\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{12}}\right)+f\left({\frac {3}{12}}\right)+f\left({\frac {5}{12}}\right)+\dots +f\left({\frac {21}{12}}\right)+f\left({\frac {23}{12}}\right)\right)\\&={\frac {3^{6}-1}{2\cdot 3^{\frac {7}{4}}({\sqrt {3}}-1)}}=72{,}71063941368\dots .\end{aligned}}$

Im Gegensatz zur Sehnentrapezregel kann bei der Tangententrapezregel bei Verdoppelung der Anzahl der Intervalle auf die vorangegangene Rechnung nicht zurückgegriffen werden.

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

$\left|E^{(n)}(f)\right|\leq {(b-a) \over 24}\ h^{2}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}$

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle $\zeta \in [a,b]$ :

$E^{(n)}(f)={(b-a) \over 24}\cdot h^{2}\cdot f''(\zeta ).$

Der Faktor $h^{2}$ in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit $f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}$ folgt

$\max _{0\leq x\leq 2}\left|f''(x)\right|=3^{3\cdot 2+1}\cdot \ln(3)^{2}=3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}$

und somit die Fehlerabschätzung

$\left|E^{(6)}(f)\right|\leq {\frac {2}{24}}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{4}}=24{,}44\dots$ ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

$E^{(6)}(f)={\frac {364}{9}}\cdot {\frac {2-\ln(3){\sqrt {3}}}{\ln(3)}}=3{,}5764\dots .$

Analog erhält man als Fehlerabschätzung

$\left|E^{(12)}(f)\right|\leq {\frac {2}{24}}\cdot \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{16}}=6{,}11\dots$ ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

$E^{(12)}(f)=0{,}9176\dots .$

Es gilt

$\left|E^{(12)}(f)\right|=0{,}9176\dots \approx {\frac {\left|E^{(6)}(f)\right|}{4}}={\frac {3{,}5764\dots }{4}}=0{,}8941\dots .$

Rechnet man die Tangententrapezformel zweimal mit zwei verschiedenen Anzahlen von Intervallen $n\neq m$ , so erhält man wie bei der Sehnentrapezregel folgende Fehlerschätzung:

$E^{(n)}(f)\approx {\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\left(M^{(m)}(f)-M^{(n)}(f)\right)$ .

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle $m=2n$ (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:

$E^{(n)}(f)\approx {\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\left(M^{(2n)}(f)-M^{(n)}(f)\right)$ .

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

$E^{(6)}(f)=3{,}5764\dotso \approx {\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\left(M^{(12)}(f)-M^{(6)}(f)\right)=3{,}545\dotso$ .

Für konkave Funktionen liefert die Tangententrapezformel eine bessere Näherung als die Sehnentrapezformel.

Grafisch veranschaulicht bedeutet dies, dass die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche oberhalb des Funktionsgraphen bei der Tangententrapezformel kleiner ist als die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche unterhalb des Funktionsgraphen bei der Sehnentrapezformel.^[4]

Wie man an obigen Beispielen sieht, gilt

${\begin{aligned}T^{(12)}(f)&={\frac {T^{(6)}(f)}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)\\&={\frac {T^{(6)}(f)+M^{(6)}(f)}{2}}.\\\end{aligned}}$

Die allgemeine Formel lautet:

$T^{(2n)}(f)={\frac {T^{(n)}(f)}{2}}+{\frac {h}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right)={\frac {T^{(n)}(f)+M^{(n)}(f)}{2}}.$

Für die Fehlerschätzung der Sehnentrapezregel erhält man somit

$E^{(n)}(f)\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {4}{3}}\left({\frac {T^{(n)}(f)+M^{(n)}(f)}{2}}-T^{(n)}(f)\right)={\frac {2}{3}}\left(M^{(n)}(f)-T^{(n)}(f)\right).$

Addiert man zum Näherungswert $T^{(n)}(f)$ die Fehlerschätzung für $E^{(n)}(f)$ , so erhält man die beiden besseren äquivalenten Formeln:

$T^{(n)}(f)+{\frac {2}{3}}\left(M^{(n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {1}{3}}\left(T^{(n)}(f)+2M^{(n)}(f)\right).$
Das ist die Formel von $S^{(n)}(f)$ der Simpsonregel. Somit erhält man eine Formel vom Genauigkeitsgrad 3, die Polynome bis zum Grad 3 exakt integriert. Diese liefert i. A. bessere Resultate als $T^{(n)}(f)$ oder $M^{(n)}(f)$ .
$T^{(n)}(f)+{\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {4\cdot T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)}{3}}.$
Das ist die Formel für die 2. Spalte des Rechenschemas der Romberg-Integration bei Verwendung der Romberg-Folge. Somit ist die 2. Spalte des Rombergschemas die Simpsonregel mit dem Genauigkeitsgrad 3.

Angewandt auf obiges Beispiel erhält man mit

$S^{(6)}(f)={\frac {1}{3}}\left(T^{(6)}(f)+2M^{(6)}(f)\right)={\frac {4\cdot T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)}{3}}={\frac {728\cdot ({\sqrt {3}}+1)}{27}}=73{,}66418473741264\dots$

eine bessere Näherung für das exakte Integral $J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}\,\mathrm {d} x=73{,}6282396649\dots$

als mit $T^{(6)}(f)=80{,}{\bar {8}},T^{(12)}(f)=75{,}4703608...$ , oder $M^{(6)}(f)=70{,}05183266\dots ,$

bei gleicher Anzahl auszuwertender Funktionswerte wie $T^{(12)}(f)$ , nämlich 13 Stück.

Josef Stoer: Numerische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21395-3
Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner-Verlag, Stuttgart, 2002, ISBN 3-519-00356-2, S. 317 ff

↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 169
↑ Mathematics Magazine, vol. 68, no. 3 (June 1995), S. 192
↑ Peter Deuflhard; Folkmar Bornemann: Numerische Mathematik / 1. Eine algorithmisch orientierte Einführung. 4., überarb. und erw. Auflage. Band 1. de Gruyter, Berlin, ISBN 3-11-020354-5, S. 313.
↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 170