Métacentre

Entre la position d�origine du flotteur (inclinaison θ = 0� ) et une position d�inclinaison θ quelconque, le centre de car�ne B d�crit dans l�espace une trajectoire qui l�a amen� de sa position initiale (situ�e dans le plan longitudinal) � celle (d�cal�e du plan longitudinal) correspondant � l�inclinaison θ. Consid�rant, � partir et de part et d�autre de l�inclinaison θ une l�g�re variation d�inclinaison, on peut imaginer que B d�crit un arc de courbe qui, s�il est suffisamment petit, peut �tre assimil� � un arc de cercle dont le centre est le � m�tacentre M relatif � l�inclinaison θ �. Le rayon du cercle correspondant s�appelle le rayon m�tacentrique : on le nomme � r � dans le cas d�une inclinaison purement transversale, � R � dans le cas d�une inclinaison purement longitudinale, et � ρ � dans le cas, plus g�n�ral, d�une inclinaison quelconque (plus ou moins oblique). M est donc le centre de rotation instantan� du flotteur (consid�r� sur un plan d�eau parfaitement calme et dans un mouvement tr�s lent). Les points M et B sont diff�rents pour chaque inclinaison, et donc ρ dont on d�montre (formule de Bouguer) que la valeur est �gale, pour une inclinaison donn�e, au rapport entre le moment d�inertie de la surface de flottaison inclin�e par rapport � l�axe d�inclinaison correspondant (_x) et le volume immerg� soit:

ρ (m) = I_x (m⁴) / V (m₃)

Pour une inclinaison transversale :

r = I_T / V

Dans la figure ci-dessous, l�intersection H de la verticale passant par le centre de car�ne B avec le plan longitudinal du navire s�appelle le point m�tacentrique transversal relatif � l�inclinaison θ, et sa distance � h � au centre de car�ne � l�origine B₀, la hauteur m�tacentrique correspondante. Le centre de gravit� du navire G est rep�r� par sa distance � a � au centre de car�ne origine B₀. L��quilibre est donc stable si h-a est positif, c�est � dire si G est situ� au-dessous H, instable dans le cas contraire. Le m�tacentre M est situ� sur la verticale BH. Le bras de levier GZ du couple des forces P et A est obtenu en fonction de l�angle consid�r� θ par la relation:

GZ = GH.sin θ = (h-a).sin θ

et le moment correspondant:

Mt = P.GZ = P.(h-a).sin θ

La courbe des bras de levier est trac�e aujourd�hui pour la plupart des navires par des moyens informatiques, � partir d�un mod�le de formes suffisamment pr�cis (flotteur complet y compris les oeuvres mortes �tanches, c�est � dire consid�r�es comme non envahissables), pour lequel on fixe une valeur du d�placement, ou poids du navire et la position correspondante de son centre de gravit�. Pour chaque inclinaison successive, la position du centre de car�ne, ou plus pr�cis�ment isocar�ne (c�est � dire incluant les �ventuelles corrections d�assiette) est recalcul�e, et donc le bras de levier correspondant. Mais on ne peut pas attendre, en g�n�ral, d�en �tre rendu au stade de la saisie informatique pour se faire une id�e ne serait-ce qu�approximative, de la stabilit� d�un futur navire en projet. Il sera souvent n�cessaire de faire au minimum une investigation pr�alable � ce sujet d�s les premi�res �bauches.