Jet groupoids, natural bundles and the Vessiot equivalence method - RWTH Publications

Kurzfassung
Diese Arbeit behandelt die Äquivalenz von differentialgeometrischen Objekten. Ausgehend von einer Veröffentlichung von Vessiot von 1903 wird eine Methode zur Feststellung von Äquivalenz entwickelt. Sie soll eine Alternative zum Cartanschen Zugang darstellen. Zusätzlich zur Theorie wird eine Implementation der Methoden vorgestellt. Die Vessiotsche Äquivalenzmethode ist in der Sprache der Differentialgeometrie formuliert. Um geometrische Objekte zu beschreiben, wird das zentrale Konzept der natürlichen Bündel eingeführt. Mit ihrer Hilfe kann die Äquivalenz von geometrischen Objekten überprüft werden. Dazu werden Symmetrien der Objekte und Invarianten benötigt. Lie und Vessiot haben gezeigt, dass die Koordinatentransformationen von natürlichen Bündeln benutzt werden können, um die Symmetrien von geometrischen Objekten zu beschreiben. Dies geschieht in Form von partiellen Differentialgleichungen. Im Allgemeinen sind diese Differentialgleichungen nicht integrabel, d.h. man erhält durch formales Differenzieren und Eliminieren weitere Gleichungen niedrigerer Ordnung. In der vorliegenden Arbeit werden die vorhandenen Methoden weiterentwickelt, um Integrabilität zu überprüfen. Weiter wird gezeigt, wie die Gleichungen effizient zu einem integrablen System vervollständigt werden können. Für alle diese Schritte werden natürliche Bündel verwendet. Zur Beschreibung der Differentialgleichungen wird ein geometrischer Zugang von Spencer verwendet, der den Jet-Formalismus benutzt. Eine Differentialgleichung wird dabei als Mannigfaltigkeit angesehen. Im Fall der Symmetriegleichungen hat diese Mannigfaltigkeit die Struktur eines Jetgruppoids. Diese Struktur ist wichtig, um die Integrabilität der Differentialgleichungen mit Hilfe natürlicher Bündel zu entscheiden. Im Zuge der Vervollständigung der Symmetriegleichungen zu einem integrablen System treten Invarianten auf. Die Vessiotsche Äquivalenzmethode berechnet ein Erzeugendensystem für die Invarianten. Mit Hilfe der Symmetrien und der Invarianten ist es möglich die Äquivalenz von zwei geometrischen Objekten zu überprüfen. Dazu müssen die Symmetrien identisch sein und die Invarianten übereinstimmen. Die Vessiotsche Äquivalenzmethode wird mit Cartans Zugang verglichen. Hier ist es möglich, zentrale Konstruktionen von Cartan im Kontext von Vessiot zu interpretieren. Weiterhin wird Vessiots Methode auf Beispiele von linearen partiellen Differentialoperatoren angewendet, um Erzeugendensysteme für die Invarianten unter Eichtransformationen zu berechnen. Hier konnten Erzeugendensysteme von Invarianten für Operatoren dritter und vierter Ordnung in der Ebene berechnet werden. Die Ergebnisse vierter Ordnung sind neu.

The present thesis deals with the equivalence of differential geometric objects. Based on a work of Vessiot published in 1903, an equivalence method is developed. It is intended to be an alternative to Cartan's well-known approach. In addition to theoretical aspects, an implementation of the methods is presented. The Vessiot equivalence method is formulated in the language of differential geometry. To describe geometric objects, the central concept of natural bundles is introduced. They are used to test equivalence of different geometric objects. For this, the symmetries of the objects and invariants are necessary. Lie and Vessiot showed that coordinate transfomations of natural bundles can be used to describe symmetries of geometric objects in terms of partial differential equations. In general, these equations are not integrable, i.e. by formal differentiation and elimination of highest order derivatives additional equations of lower order can be obtained. In the present thesis, the known methods are extended to check integrability. Furthermore it is shown how to complete the equations to an integrable system efficiently. In all steps, natural bundles are used. For the description of partial differential equations, a geometric approach of Spencer is used. It relies on the jet formalism and a differential equation is considered as a manifold. In the case of equations for symmetries, this manifold has a groupoid structure, which is important to decide integrability with the help of natural bundles. During the completion of the symmetry equations to integrability, invariants occur. The Vessiot equivalence method computes a generating set of invariants. With the help of symmetries and invariants it is possible to check whether two geometric objects are equivalent. Vessiot's equivalence method is compared to Cartan's approach. It is possible to give an interpretation of central constructions of Cartan in Vessiot's context. Furthermore, the Vessiot equivalence method is applied to the example of linear partial differential operators in order to calculate generating sets of invariants under gauge transformations.