Mischungsrechnung | eLexikon | Mathematik - Kaufmännische und politische Arithmetik

Titel

1) Sind q_{1}, q_{2}, q_{3}..., die Quantitäten

2) Werden die Quantitäten q_{1} und q_{2} gesucht

3) Sind drei oder mehr Sorten von bekannter Qualität so zu mischen

4) Zu q_{1} Einheiten von der Qualität a soll eine zu bestimmende Quantität

5) Von welcher Qualität (b) muß die Sorte sein

Alligationsrechnung

(Mischungsrechnung), die Berechnung der Unbekannten in Aufgaben, die sich auf die Mischung (Mengung, Legierung) verschiedener Quantitäten von verschiedener Qualität (Gehalt, Preis) beziehen.

1) Sind q₁, q₂, q₃..., die Quantitäten, alle in derselben (Maß- oder Gewichts-) Einheit ausgedrückt, a, b, c..., die Qualitäten der einzelnen Stoffe, ebenfalls in einerlei Einheit angegeben, und ist m die Qualität der Mischung in der gleichen Einheit, so ist

aq₁ + bq₂ + cq₃ + ... = m(q₁ + q₂ + q₃ + ...)

und also m = (aq₁ + bq₂ + cq₃ + ... ) / (q₁ + q₂ + q₃ + ...)

d. h. »die Qualität der Mischung ist gleich der Summe der Produkte aus Qualität und Quantität der einzelnen Sorten, dividiert durch die Summe der Quantitäten«. Aus 30 Pfd. Kaffee à 2 Mk., 15 Pfd. à 1,6 Mk. und 25 Pfd. à 1,4 Mk. mischt man also eine Sorte, von der das Pfund

(2 * 30 + 1,6 * 15 + 1,4 * 25) / (30 + 15 + 25)

= 1,7 Mk. kostet.

2) Werden die Quantitäten q₁ und q₂ gesucht, in denen man zwei Sorten von den bekannten Qualitäten a und b mischen muß, um q Einheiten von der Qualität m zu erhalten, so hat man die Gleichungen q₁ + q₂ = q und aq₁ + bq₂ = mq, aus denen folgt

q₁ = (m-b)/(a-b) * q, q₂ = (a-m)/(a-b) * q,

Gold (Gewinnung aus ge

d. h. »soll aus zwei Sorten von bekannter Qualität (a und b) eine bestimmte Quantität (q) von bestimmter Qualität (m) durch Mischung hergestellt werden, so bilde man die Unterschiede zwischen den Qualitäten der Mischsorte und der geringern Sorte (m - b) sowie zwischen der Qualität der bessern und derjenigen der Mischsorte (a - m), dividiere beide Differenzen mit der Differenz der Qualitäten der zwei gegebenen Sorten (a - b) und multipliziere die erhaltenen Quotienten mit der vorgeschriebenen Quantität (q) der Mischsorte; die Produkte geben die nötigen Quantitäten der bessern und geringern Sorte an«. Um also aus Gold [* 4] vom Feingehalt a = 900 und b = 500 q = 600 g einer Legierung von m = 800 herzustellen, hat man (800-500)/(900-500) * 600 = 450 g von der bessern und (900-800)/(900-500) * 600 = 150 g von der geringern Sorte zu nehmen.

3) Sind drei oder mehr Sorten von bekannter Qualität so zu mischen, daß eine bestimmte Quantität von vorgeschriebener Qualität entsteht, so ist diese Ausgabe unbestimmt und läßt sich auf unendlich viele Arten lösen. Gesetzt, man sollte aus drei Sorten, von denen das Pfund 1,5 Mk., 2 Mk. und 3 Mk. kostet, 30 Pfd., das Pfund zu 2,5 Mk., zusammenmischen, so könnte man aus der ersten und dritten Sorte irgend eine Quantität, weniger als 30 Pfd., von der verlangten Qualität mischen, z. B. 10 Pfd.; die fehlende Menge, in unserm Fall 20 Pfd., könnte man dann aus der zweiten und dritten Sorte herstellen. Mischt man nun die beiden Mischungen, die schon die verlangte Qualität haben, so erhält man auch die vorgeschriebene Quantität.

4) Zu q₁ Einheiten von der Qualität a soll eine zu bestimmende Quantität (q₂) von der Qualität b gesetzt werden, so daß eine Mischung von der Qualität m entsteht. Da die Quantität der Mischung q = q₁ + q₂ ist, so besteht die Gleichung aq₁ + bq₂ = m (q₁ + q₂), aus welcher man erhält

q₂ = (a-m)/(m-b) * q₁ = (m-a)/(b-m) * q₁;

man nimmt die erste oder die zweite Formel, je nachdem a mehr oder weniger beträgt als m, d. h. »man bilde die Differenzen zwischen der Qualität der Mischsorte und den Qualitäten der gegebenen Sorten, dividiere dann die Differenz (a - m oder m - a), in welcher die Qualität (a) der Sorte vorkommt, deren Quantität gegeben ist, mit der andern Differenz und multipliziere den Quotienten mit der gegebenen Quantität (q₁) der ersten Sorte; dann gibt das Produkt die zur Mischung nötige Quantität der zweiten Sorte«. Will man also zu 3 Pfd. Silber vom Feingehalt 900 so viel Silber vom Feingehalt 600 setzen, daß man eine Legierung von 800 erhält, so sind dazu (900-800)/(800-600) * 3 = 1,5 Pfd. nötig.

Alligator - Allioli

5) Von welcher Qualität (b) muß die Sorte sein, von welcher q₂ Einheiten mit q₁ Einheiten von der Qualität a eine Mischung von der Qualität m geben? Die Gleichung der vorigen Nummer gibt b = [m(q₁+q₂)-aq₁]/q₂, d. h. »man findet die gesuchte Qualität der zweiten Sorte, indem man das Produkt aus Qualität und Quantität der ersten Sorte (aq₁) abzieht von dem entsprechenden Produkt ¶

mehr

für die Mischsorte (m [q₁ + q₂]) und den Rest mit der Quantität der zweiten Sorte dividiert«. Es ist dabei gleichgültig, ob die zweite Sorte besser oder geringer ist als die erste. Sollen also 3 Pfd. feinen Silbers (a = 1000) mit 5 Pfd. einer andern Legierung zusammengeschmolzen werden, so daß (8 Pfd.) Silber vom Feingehalt 600 entsteht, so muß der Zusatz den Feingehalt ^[img] = 360 haben.

6) Zur Alligationsrechnung gehört auch die sogen. »Kronenrechnung« von Archimedes, welche die Aufgabe zu lösen hat: Wieviel Gewichtsteile (x) eines Metalls vom spezifischen Gewicht s und wieviel Teile (y) eines andern Metalls vom spezifischen Gewicht s₁ sind in p Gewichtsteilen einer Legierung beider vom spezifischen Gewicht t enthalten? Hier sind die beiden Gleichungen zu lösen

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aus denen man erhält

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Dabei ist jedoch zu bemerken, daß die Rechnung nicht ganz der Wirklichkeit entspricht, weil bei Legierungen in der Regel Volumveränderungen stattfinden und das spezifische Gewicht einer Legierung daher nicht ganz in der durch die zweite Gleichung ausgedrückten Weise aus den spezifischen Gewichten der beiden Metalle erhalten wird.

^[Ergänzung: Das spez. Gewicht einer Metalllegierung entspricht nicht genau dem vorausberechneten Wert! In diesem Zusammenhang ist auf einen weiteren Umstand hinzuweisen: Archimedes ermittelte völlig zu Recht eine kleine Volumendifferenz bei seiner Krone. Wenn man nun realistische Daten für Kronengewicht, Silber als Fremdmetall und die spezifischen Gewichte einsetzt, so liefert die einfache Rechnung eine Volumendifferenz, die so klein ist, daß Archimedes schon ein exzellentes, hochmodernes Präzisionsinstrument nötig gehabt hätte, um diese Differenz zu bemerken. Solch ein Gerät stand ihm aber noch nicht zur Verfügung. Voraussetzung ist, daß er nicht die große Badewanne verwendete, sondern einen Behälter, der nur unwesentlich größer war als die Krone. Mit der Wanne wird es hoffnungslos! Schöne Grüße Martin Schumacher.]