Pendel | eLexikon | Physik - Mechanik - Instrumente

Pendel

[* 1] (lat. Pendulum, »das Hangende«),

in seiner einfachsten Form ein an einem Faden [* 2] aufgehängter schwerer Körper. Denkt man sich den Faden gewichtslos und den Körper als ein einziges schweres Massenteilchen, so hat man ein einfaches oder mathematisches Pendel. Entfernt man das Pendel aus seiner lotrechten Gleichgewichtslage a b (s. Figur) und überläßt es dann sich selbst, so kehrt es unter der Einwirkung der Schwerkraft mit beschleunigter Geschwindigkeit dahin zurück, indem es einen Kreisbogen c a beschreibt; in der Gleichgewichtslage angelangt, kann es aber nicht plötzlich zur Ruhe kommen, sondern es geht nach dem Gesetz der Trägheit vermöge der erlangten Geschwindigkeit jenseits über jene hinaus, indem es mit abnehmender Geschwindigkeit einen ebenso großen Bogen [* 3] a d durchläuft, an dessen Ende d

Pendel

[* 1] ^[Abb.: Pendel.] ¶

mehr

seine Geschwindigkeit durch die entgegenwirkende Schwerkraft erschöpft ist. Die Bewegung des Pendels von c bis d heißt eine Schwingung, [* 5] der Winkel [* 6] abc, den der Faden in seiner äußersten Lage mit der Gleichgewichtslage bildet, die Schwingungsweite (Amplitude). In einer zweiten Schwingung kehrt das Pendel wieder von d in seine anfängliche Lage c zurück und würde so in unaufhörlicher Wiederholung derselben Bewegung mit gleichbleibender Amplitude fortschwingen, wenn nicht äußere Hindernisse, nämlich die Reibung [* 7] am Aufhängepunkt und der Widerstand der Luft, die Amplitude immer kleiner machten und das Pendel endlich in der Gleichgewichtslage zur Ruhe brächten.

Parallelkreise - Paral

Die Kraft, [* 8] welche das Pendel in die Gleichgewichtslage zurückzukehren nötigt, ist nicht die ganze Schwerkraft, sondern nur ein Teil (eine Komponente) derselben. Stellt nämlich in der [* 4] Figur c e die vertikal abwärts wirkende Schwerkraft vor, so kann man sich dieselbe nach dem Parallelogramm der Kräfte [* 9] in zwei Seitenkräfte c f und c g zerlegt denken, von welchen erstere in die Richtung des Fadens, letztere in die Richtung der Berührungslinie des Kreisbogens, also in die Richtung der Bewegung fällt, welche der Pendelkörper im Punkt c besitzt; nur diese letztere kann die Ursache der Bewegung sein, während jene keinen weitern Erfolg hat, als den Faden gespannt zu erhalten.

Zieht man nun c h senkrecht zu a b, so folgt aus der Ähnlichkeit [* 10] der Dreiecke c e g und c b h, daß sich die bewegende Kraft cg zur ganzen Schwerkraft verhält wie die Entfernung c h zur Pendellänge b c, oder daß die bewegende Kraft der Entfernung des Pendelkörpers von der Gleichgewichtslage des Fadens proportional ist. Wenn die Amplituden nur klein sind, d. h. 2-3° nicht überschreiten, so ist der bogenförmige Weg c a, den der Pendelkörper bis zu seiner Gleichgewichtslage zurückzulegen hat, von der geradlinigen Strecke c h nicht merklich verschieden; da nun die treibenden Kräfte in demselben Verhältnis stehen wie die zu durchlaufenden Wege, so leuchtet ein, daß das Pendel bis zur Gleichgewichtslage dieselbe Zeit braucht, gleichviel ob seine Amplitude 3 oder 2° oder nur wenige Bogenminuten oder -Sekunden beträgt.

Bei kleinen Amplituden sind also alle Schwingungen des Pendels von gleicher Dauer (isochron). Dieses wichtige Gesetz des Isochronismus der Pendelschwingungen wurde von Galilei entdeckt. Bei kleinen Schwingungen ist demnach die Schwingungsdauer unabhängig von der Amplitude; sie wird (an einem und demselben Ort) nur durch die Länge des Pendels bedingt, und zwar verhalten sich die Schwingungszeiten ungleich langer Pendel wie die Quadratwurzeln aus den Pendellängen, d. h. die Schwingungszeiten verhalten sich wie 1, 2, 3..., wenn sich die Pendellängen wie 1, 4, 9... verhalten.

Linneit - Linse

Das mathematische Pendel besteht nur in der Idee; jedes wirklich ausgeführt Pendel ist ein physisches, materielles oder zusammengesetztes Pendel. Dasselbe besteht gewöhnlich aus einer Stange, die an einer Schneide oder an einer dünnen, biegsamen Stahlfeder aufgehängt ist und nahe ihrem untern Ende als schweren Körper eine flache Linse [* 11] trägt. Da jedes Massenteilchen des physischen Pendels um so schneller zu schwingen bestrebt ist, je näher es dem Aufhängungspunkt liegt, und da doch alle Teilchen durch ihren festen Zusammenhang gezwungen sind, gleichzeitig zu schwingen, so werden die dem Aufhängungspunkt näher gelegenen Teilchen in ihrer Bewegung verzögert, die entfernter gelegenen aber beschleunigt.

Ein dazwischenliegender Punkt, dessen Bewegung weder verzögert noch beschleunigt wird, der vielmehr genau so schwingt, wie es sein Abstand vom Aufhängungspunkt fordert, heißt der Schwingungspunkt, und sein Abstand vom Aufhängungspunkt, die reduzierte Pendellänge, gibt die Länge desjenigen mathematischen Pendels an, welches dieselbe Schwingungsdauer hat wie das gegebene physische. Für das physische Pendel gelten, wenn man unter der Länge desselben die reduzierte Pendellänge versteht, dieselben Schwingungsgesetze wie für das mathematische.

Vertauscht man bei einem physischen Pendel den Schwingungspunkt mit dem Aufhängungspunkt, so schwingt es in beiden Lagen gleich schnell. Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich die reduzierte Pendellänge leicht bestimmen; man bedient sich hierzu des von Bohnenberger vorgeschlagenen und von Kater angewendeten Reversionspendels, an dessen Stange sich außer der gewöhnlichen Aufhängungsachse noch eine zweite verschiebbare befindet; letztere wird durch Probieren in die Lage gebracht, daß das an ihr hängend genau so viel Zeit zu einer Schwingung braucht wie vorher, als es an der ersten Aufhängungsachse hing.

Die reduzierte Pendellänge ist dann gleich dem Abstand der beiden Aufhängungsschneiden. Schon Huygens hatte vorgeschlagen, die Länge des Sekundenpendels, d. h. eines Pendels, welches in einer Sekunde eine Schwingung vollendet, als Einheit des Längenmaßes zu wählen. In England wurde dieser Vorschlag insofern zur Ausführung gebracht, als man das Verhältnis des Yards zur Länge des Londoner Sekundenpendels gesetzlich feststellte. Die zur Zeit der französischen Revolution zur Einführung eines neuen Maßsystems niedergesetzte Kommission verwarf jedoch diese Idee, weil eine solche Einheit ein fremdes Element, die Zeit, enthalte, und adoptierte bekanntlich als Einheit das Meter als den 40millionten Teil eines Erdmeridians.

Berlin

Die Schwingungsdauer t eines Pendels wird ausgedrückt durch die Formel t = π sqrt(l/g) ^[img], worin l die Pendellänge, g die Beschleunigung der Schwere (Acceleration), d. h. die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers am Ende der ersten Fallsekunde, und Pi die Zahl 3,14159, d. h. das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, bezeichnet. Die Beschleunigung der Schwere, welche als Maß für die Anziehungskraft der Erde anzusehen ist, läßt sich aus dem freien Fall selbst, weil diese Bewegung zu rasch ist, nicht mit Sicherheit ermitteln; kennt man aber die Länge des Sekundenpendels, so kann man g mit großer Genauigkeit aus obiger Formel berechnen. So beträgt z. B. nach Bessel zu Berlin [* 12] die Länge des Sekundenpendels 994,26 mm, und daraus ergibt sich für Berlin g = 9,8125 m. Nun ist aber die Länge des Sekundenpendels verschieden für verschiedene Orte der Erdoberfläche, und zwar nimmt sie zu vom Äquator nach den Polen hin. Folgende Tabelle gibt die Resultate von Sabines Pendelmessungen:

¶

Pendeloque - Peneios

mehr

Da nach obiger Formel bei gleicher Schwingungsdauer die Beschleunigungen sich umgekehrt verhalten wie die Pendellängen, so nimmt hiernach die Wirkung der Schwerkraft ab vom Pol bis zum Äquator; während nämlich dort die Beschleunigung des freien Falles 9,8309 m, unter 45° Breite [* 14] 9,8055 m beträgt, ist sie unter dem Äquator 9,7801 m. Die Ursache dieser Verminderung ist zum Teil die durch den Umschwung der Erde um ihre Achse erzeugte Zentrifugalkraft; [* 15] da die Umdrehungsgeschwindigkeit und der Halbmesser der Erde bekannt sind, so läßt sich die Größe der Zentrifugalkraft leicht berechnen, und zwar findet man, daß sie am Äquator, wo sie am größten ist und der Schwerkraft gerade entgegenwirkt, ¹/289 derselben ausmacht, und daß demnach die Beschleunigung dort um 34 mm kleiner sein müßte als an den Polen.

Die Pendelbeobachtungen aber zeigen, daß die Abnahme der Beschleunigung von den Polen nach dem Äquator in Wirklichkeit größer ist und nahezu 51 mm beträgt. Es muß demnach für diese Verminderung noch eine andre Ursache vorhanden sein als die Zentrifugalkraft, welche nur darin bestehen kann, daß die Pole dem Erdmittelpunkt näher liegen als die Punkte des Äquators, oder daß die Erde nicht genau kugelförmig, sondern wie eine Orange an den Polen abgeplattet ist.

Aus den mittels des Pendels gefundenen Werten der Beschleunigung und aus der Größe der Zentrifugalkraft kann man nun die Abplattung der Erde berechnen und findet sie gleich ¹/292; diese Zahl, welche aussagt, daß der Erddurchmesser von Pol zu Pol um den 292. Teil kürzer ist als der Durchmesser des Äquators, stimmt mit dem aus Gradmessungen gefundenen Wert ¹/299 sehr nahe überein. Auch die Dichte (das spezifische Gewicht) des Erdkörpers wurde von Airy durch Pendelbeobachtungen bestimmt, welche derselbe an der Erdoberfläche und auf dem Boden des Bergwerks von Harton in einer Tiefe von 383 m anstellte. Er fand in der Tiefe die Beschleunigung größer als an der Oberfläche, woraus geschlossen werden muß, daß das Erdinnere eine größere Dichte besitzt als die uns zugängliche Erdrinde; die mittlere Dichte der Erde ergab sich aus diesen Versuchen 6,5mal so groß als die des Wassers, wogegen Reich durch ein ganz andres Verfahren die Zahl 5,5 gefunden hat.

Elektrische Uhren

Ein schwingendes Pendel hat vermöge der Trägheit das Bestreben, in seiner Schwingungsebene zu verharren, und hält dieselbe auch der Umdrehung der Erde gegenüber fest; darauf gründet sich der berühmte Foucaultsche Pendelversuch (s. d.), welcher die Umdrehung der Erde um ihre Achse auf direkte Weise anschaulich macht. Indem das Pendel die Anziehung, die Abplattung und die Dichte der Erde zu messen gestattet und für ihre Umdrehung den augenfälligen Beweis liefert, gehört es zu den wichtigsten wissenschaftlichen Apparaten; nicht minder wichtig, aber allgemeiner bekannt ist seine von Huygens (Horologium oscillatorium) angegebene Anwendung bei den Uhren [* 16] (s. d.), wo es die Aufgabe hat, die durch ein Gewicht oder eine Feder hervorgebracht Bewegung des Räderwerks nach gleichen Zeitintervallen immer auf einen Augenblick zu hemmen u. dadurch den sonst eintretenden ungleichförmigen Gang [* 17] in einen gleichmäßigen zu verwandeln.

Elektriker - Elektrisc

Gibt man dem schweren Körper eines einfachen Pendels, wenn es sich eben in seiner größten Ausweichung befindet, einen passend abgemessenen Stoß, so beschreibt er von nun an mit gleichförmiger Geschwindigkeit eine Kreislinie um den Punkt der Gleichgewichtslage und wird jetzt konisches oder Zentrifugalpendel genannt. Die Zeit seines Umlaufs ist doppelt so groß als die Schwingungsdauer des gewöhnlichen Pendels von gleicher Länge. Man benutzt die Zentrifugalpendel ebenfalls bei Uhren; da aber ihre Aufhängung Schwierigkeiten verursacht, und da sie besonders einen vorzüglich festen und richtigen Stand erfordern, so wendet man sie häufiger zur Regulierung der Umdrehung astronomischer Instrumente, bei Registrierapparaten und bei den Drehfeuern der Leuchttürme an. Elektrische [* 18] Pendel sind Elektroskope (s. d.). Ballistisches Pendel heißt ein von Robins erfundener Apparat zur Messung der Anfangsgeschwindigkeit von Geschossen und damit der Kraft des Pulvers. Eine Flinte ist in horizontale Lage an einem dreieckigen Gestell befestigt, welches auf zwei Schneiden schwingt. Der Schwingungspunkt des Pendels wird in die Achse der Flinte und in die Vertikale gebracht, welche durch den Schwerpunkt [* 19] geht. Das Geschoß [* 20] schlägt auf den Schwingungspunkt eines Pendels, dessen Ausschlag an einem Gradbogen gemessen wird. Kompensationspendel, s. Ausdehnung. [* 21]