Quadratwurzel | eLexikon | Mathematik - Eigentliche Arithmetik

Quadratwurzel,

s. Wurzel. [* 2]

Wurzel

[* 2] (Radix), eins der morphologischen Grundorgane der Pflanzen und zwar, wie der Stengel, [* 4] ein Achsenorgan. Sie unterscheidet sich vom Stengel durch den Mangel an Blättern und den von einem besondern Gewebe, [* 5] der Wurzelhaube, umhüllten Vegetationspunkt. Der gewöhnliche ungenaue Sprachgebrauch, welcher unter Wurzel fast alle in der Erde wachsenden Pflanzenteile, besonders auch den Wurzelstock (s. Rhizom), [* 6] versteht, ist also von dem botanischen verschieden. Wurzeln kommen nur bei Pflanzen mit Fibrovasalsträngen vor, also bei den Gefäßkryptogamen und Phanerogamen, nicht bei den Moosen und Thallophyten, die nur Wurzelhaare (Rhizoiden) entwickeln.

Salvio - Salz

Unter den beiden erstgenannten gibt es nur wenige wurzellose Pflanzen, wie die sehr einfach gebaute Lemna arrhiza, die Rhizokarpee Salvinia, [* 7] die Lykopodiacee Psilotum, unter den Orchideen [* 8] Epipogum Gmelini und Corallorrhiza, von Lentibulariaceen Utricularia. Die Wurzel besitzt an der Oberfläche stets eine deutliche Epidermis, [* 9] in welcher jedoch keine Spaltöffnungen vorkommen. Das Grundgewebe wird von einer meist mächtigen, aus Parenchymzellen bestehenden Rinde gebildet.

Den zentralen Teil der Wurzel nimmt in der Regel ein einziger axialer Gefäßstrang ein, dessen Gefäßteil mehrere von der Mitte ausgehende radiale Streifen bildet, zwischen denen ebenso viele mit ihnen abwechselnde Weichbast- oder Siebteile liegen. Die Ausbildung der Gefäßbündelelemente beginnt in der Wurzel umgekehrt wie bei den meisten Stengeln an der Peripherie und schreitet von da gegen die Mitte vor. Umgeben wird der Gefäßstrang der Wurzel von einer welligwandigen oder sklerotischen Scheide (Endodermis), die aus der innersten Schicht des Grundgewebes hervorgeht.

Holywood - Holz

Zwischen der Scheide und dem Gefäßstrang liegt ein einschichtiger, selten zweischichtiger Ring von zartwandigen Zellen, das Perikambium, in welchem die Seitenwurzeln durch Zellteilung angelegt werden. Die Wurzeln holziger Pflanzen besitzen gleich den Stämmen Dickenwachstum, und ihr Holz [* 10] zeigt im allgemeinen einen ähnlichen Bau. Die jüngern Wurzeln sind bei den meisten Pflanzen dicht mit Wurzelhaaren bekleidet. Dies sind schlauchförmige Haarbildungen der Epidermis, welche zwischen die kleinen Teilchen des Bodens hineinwachsen und an vielen Stellen mit denselben wirklich fest verwachsen sind, so daß, wenn man die Wurzel mit der Erde aushebt, sie mit einem Höschen von lauter kleinen Erdteilchen umhüllt ist, welche ohne Verletzung der Wurzelhaare sich nicht entfernen lassen.

Wurzel (botanisch)

Diese Organe sind hauptsächlich bei der Aufsaugung der Nahrung thätig (vgl. Ernährung der Pflanzen). In dem Maß, wie die Bildung neuer Wurzelhaare nach der Spitze hin fortschreitet, sterben am hintern Ende der Strecke die ältesten ab, und daran schließt sich dann früher oder später eine Fortbildung an der Wurzeloberfläche; solche Teile sind der Aufsaugung von Nahrung nicht mehr fähig. Auf der Spitze der meisten Wurzeln befindet sich die Wurzelhaube (Wurzelmütze, Wurzelschwämmchen), ¶

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d. h. eine aus parenchymatischen Zellen bestehende kappenförmige Hülle, welche den Vegetationspunkt der Wurzel umgibt und an der äußersten Spitze in organischem Zusammenhang mit ihm steht [* 2] (Fig. 1). Während der Vegetationspunkt die Fortbildung der an der Spitze bewirkt, findet auch noch unmittelbar hinter dem Vegetationspunkt ein Längenwachstum durch Streckung statt. Dieses der Verlängerung [* 12] fähige Stück reicht meist nur wenige Millimeter weit von der Spitze rückwärts; der ganze ältere Teil der Wurzel ist keines Längenwachstums mehr fähig.

Gefäßbündel

Dort finden auch nur die Krümmungen der Wurzel durch Geotropismus statt. Wurzeln können an sehr verschiedenen Pflanzenteilen entstehen: nicht bloß an vorhandenen Wurzeln können neue sich bilden, sondern auch sehr häufig an Stengelorganen und selbst an Blättern. Der Scheitel einer neuen Wurzel bildet sich stets im Innern des Pflanzenteils (endogen), gewöhnlich unmittelbar im Kambium [* 13] der Gefäßbündel, [* 14] so daß die junge Wurzel durch die Rinde hervorbricht. Bei den Phanerogamen bildet sich am untern Ende des Keimlings die erste Wurzel; sie liegt in der Rückwärtsverlängerung des Stengels und wächst bei der Keimung in einer diesem gerade entgegengesetzten Richtung. Dieselbe wird Hauptwurzel (radix primaria) oder, da sie später meist am kräftigsten und in vertikal abwärts gehender Richtung sich entwickelt, Pfahlwurzel (radix palaria, [* 2] Fig. 2) genannt.

Alle andern nicht den embryonalen Stamm nach hinten verlängernden Wurzeln heißen Neben- oder Beiwurzeln (Adventivwurzeln). Gewöhnlich verzweigt sich die Hauptwurzel, indem an ihrer Seite neue, dünnere Wurzeln hervortreten, welche Seitenwurzeln (radicellae) heißen. Auch diese setzen meist die Verzweigung fort, und in jedem Grad werden dünnere Wurzeln gebildet; die dünnsten der letzten Verzweigungsgrade nennt man Zaserwurzeln oder Wurzelfasern (fibrillae).

Die Seitenwurzeln bilden sich im Perikambium der Hauptwurzel in absteigender Folge und meist in gewisser Ordnung, indem sie in 2, 3 oder 4 Zeilen an derselben stehen, was mit der Zahl und Verteilung der Gefäßbündel der Hauptwurzel zusammenhängt. Bei manchen Dikotyledonen erhält sich die Pfahlwurzel als kräftigste Wurzel das ganze Leben der Pflanze hindurch; oft nehmen aber früher oder später einzelne Nebenwurzeln eine gleich starke oder noch kräftigere Entwickelung an, so daß die ursprüngliche Hauptwurzel nicht mehr kenntlich ist.

Getreide (Zusammensetz

Pflanzen, die ein kriechendes Rhizom bilden, verlieren bald nach der Keimung die Hauptwurzel, und das Rhizom entwickelt nur Nebenwurzeln. Auch die Ausläufer und die durch Ausläufer vermehrten Pflanzen haben nur Nebenwurzeln. Endlich schlägt bei den meisten Monokotyledonen die Hauptwurzel schon bei der Keimung fehl; in ihrem Umfang entwickelt sich aus den nächst untern Knoten des Stengels ein Büschel zahlreicher, verhältnismäßig dünner Nebenwurzeln, wie z. B. an den Zwiebeln u. am Getreide [* 15] zu sehen ist. Solchen Pflanzen schreibt man statt der Hauptwurzel eine Faser- oder Büschelwurzel (radix fibrosa oder fascicularis, [* 2] Fig. 3) zu; selbst der Stamm der Palmen [* 16] ist ohne Hauptwurzel und nur auf diese Weise bewurzelt. In allen diesen Fällen, wo Nebenwurzeln an Stengeln sich bilden, entstehen dieselben am häufigsten, bei den Gräsern z. B. ausnahmslos, an den Knoten derselben; wenn die Stengel nicht senkrecht stehen, so treten die Nebenwurzeln oft hauptsächlich aus der untern Seite derselben hervor.

Endlich können auch an beliebigen Pflanzenteilen ohne bestimmte Ordnung Wurzeln entstehen, z. B. an Blättern oder Zweigen, wenn man sie ins Feuchte bringt oder in Erde einschlägt (Blatt- und Zweigstecklinge). Die Hauptwurzel heißt fädlich (radix filiformis), wenn sie im Verhältnis zur Länge sehr dünn ist, cylindrisch oder walzig (r. cylindrica), wenn sie dicker, aber überall ziemlich gleich ist, spindelförmig (r. fusiformis), wenn sie nach unten allmählich dünner wird, wie bei der Möhre, kugelig (r. globosa), wenn sie in allen Durchschnitten fast kreisrund erscheint, wie beim Radieschen.

Auch die Nebenwurzeln sind bisweilen knollig verdickt und werden dann als Wurzelknollen oder Knollen [* 17] (tuber) bezeichnet, wie z. B. bei Spiraea filipendula, Ficaria ranunculoides und besonders bei vielen Orchideen, wo sie durch eigentümliche Formen sich auszeichnen (s. Knollen, Fig. 4 u. 5). Nach der verschiedenen physiologischen Aufgabe, welche die Wurzel im Leben der Pflanze übernimmt, unterscheiden sich die zur Stoffaufnahme aus der Erde bestimmten Bodenwurzeln von den besonders bei tropischen

[* 2] ^[Abb.: Fig. 1. Längsdurchschnitt der Wurzelspitze des Maises. v Vegetationspunkt; hhhh die denselben bedeckende Wurzelhaube; ee Epidermis der Wurzel.

Fig. 2. p Pfahlwurzel der keimenden Bohne, n Nebenwurzeln.

Wurzel (mathematisch)

Fig. 3. Büschelwurzel des Getreides.] ¶

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Orchideen und Aroideen auftretenden Luftwurzeln, welche eine eigentümliche, aus stellenweise perforierten Spiralfaserzellen gebildete Hülle (Wurzelhülle oder velamen) besitzen und die Fähigkeit haben, den Wasserdampf der Atmosphäre zu kondensieren. Ein Luftwurzelstück von Epidendron elongatum ist im stande, während eines Tags mehr als den neunten Teil seines Gewichts an Wasser aufzunehmen. Hieraus erklärt sich die Thatsache, daß manche baumbewohnende Orchideen nach Loslösung von ihrer Unterlage noch monatelang fortzuwachsen und unter Umständen auch zu blühen vermögen.

Bei Angraecum globulosum nehmen die ergrünenden Luftwurzeln sogar die Funktion der Blätter an, welche bei derselben zu Schuppen verkümmert sind. Die zum Festhalten der Stämme an ihrer Unterlage dienenden Wurzeln (Haftwurzeln) des Epheus weichen ebenfalls ihrer besondern Thätigkeit entsprechend in ihrem Bau von den gewöhnlichen Wurzeln ab. Bei manchen Jussiaea-Arten sind die Wurzeln zu Schwimmorganen (Schwimmwurzeln) ausgebildet, welche angeschwollene, schwammige Körper mit sehr großen Lufträumen in der Rinde darstellen und hierdurch das Flottieren der Pflanze im Wasser ermöglichen. Auch können sich die Wurzeln einiger Palmen zu Dornen oder bei Vanilla zu Ranken umwandeln. Bei den Podostomeen nehmen sie in einzelnen Fällen die Gestalt eines breiten, der Unterlage flach aufliegenden Thallus an, der grüne Laubsprosse erzeugt. Endlich können sich Wurzeln z. B. bei Neottia und Anthurium direkt in Sprosse umbilden. Über die Saugwurzeln der Schmarotzerpflanzen [* 19] s. Haustorien.

Titel

1) dieselbe von rechts nach links durch Vertikalstriche in Klassen von je 2 Ziffern

11) Enthält der Radikand auf der linken Seite eine oder mehrere Klassen mit lauter Nullen

12) Hat man die Quadratwurzel aus einem gemeinen Bruch zu ziehen

1) diese Zahl durch Vertikalstriche von rechts nach links in Klassen von je 3 Ziffern

2) Man suche den höchsten Kubus (64)

3) An den Rest

4) Man dividiere, lasse aber die 2 letzten Ziffern

5) Man mache jetzt die erste Nebenrechnung

6) An den Rest 5097 hänge man die Ziffern der nächsten Klasse

7) Wäre die Subtraktion nicht aufgegangen

8) Geht die Subtraktion auf

9) Ist die Zahl, aus der man die W. ziehen soll

10) Geht eine Rechnung nicht auf

[16.786] Wurzel (Radix)

[16.789] Wurzel in der Grammatik derjenige Bestandteil eines Wortes

Wurzel,

[* 2] in der Mathematik die Zahl, welche man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des Radikanden, in mehrere gleich große Faktoren erhält;

die Anzahl dieser Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die Wurzel benannt. Es ist z. B. 8 die zweite Wurzel oder Quadratwurzel aus 64 (8 = ^/64), weil 8 . 8 = 64 ist;

5 die dritte Wurzel oder Kubikwurzel aus 125 (5 = 3^/125), weil 5 . 5 . 5 = 125 ist;

6 die vierte Wurzel oder Biquadratwurzel aus 1296 (6 = 4^/1296), weil 6 . 6 . 6 . 6 = 1296 ist;

2 die fünfte Wurzel aus 32 (2 = 5^/32), weil 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 ist, etc. Das Wurzelzeichen ^/, bei längern Zahlen oben noch durch einen Horizontalstrich verlängert, ist aus dem Anfangsbuchstaben r des lateinischen Wortes radix = Wurzel entstanden;

die Wurzelexponenten, mit Ausnahme der 2, werden demselben in der angegebenen Weise beigeschrieben.

Das Ausziehen der Wurzel aus einer gegebenen Zahl, d. h. die Berechnung der Wurzel (das Radizieren), erfolgt am raschesten mittels Logarithmen (s. Logarithmus), und bei Wurzeln höhern Grades wendet man fast immer dieses Hilfsmittel an. Nachstehend soll daher nur das Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Logarithmen erklärt werden.

Um die Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl, z. B. 34012224, zu ziehen, teile man 1) dieselbe von rechts nach links durch Vertikalstriche in Klassen von je 2 Ziffern: 34|01|22|24; nur die höchste Klasse (links) erhält bei ungerader Zifferzahl bloß eine einzige Ziffer.

2) unter den Quadratzahlen 1 · 1 = 1, 2 · 2 = 4, 3 · 3 = 9, 4 · 4 = 16, 5 · 5 = 25, 6 · 6 = 36, 7 · 7 = 49, 8 · 8 = 64, 9 · 9 = 81 suche man die größte, die sich von der höchsten Klasse (34) subtrahieren läßt (25); ihre Quadratwurzel (5) ist die erste Ziffer des Resultats. Das Quadrat 25 selbst subtrahiere man von 34. 3) An den Rest (9) hänge man die Ziffern der nächsten Klasse (01) und schreibe daneben als Divisor das Doppelt des bisher erhaltenen Resultats (2 . 5 = 10). 4) Man führe die Division aus, lasse aber dabei die letzte Ziffer (1) des Dividenden unbeachtet.

5) Der Quotient (8) ist die zweite Ziffer des Resultats und wird einesteils der ersten Ziffer (5), andernteils dem Divisor 10 angehängt (vgl. die beistehende Rechnung A.) ^[img], worauf man 8 . 108 = 864 von 901 abzieht und den Rest 37 erhält. Bei der Division muß man den Quotienten immer so wählen, daß diese Subtraktion möglich ist; man darf also in dem gegebenen Fall nicht 90 : 10 = 9 setzen, weil 9 . 109 = 981 sich nicht von 901 subtrahieren läßt.

6) An den bei der Subtraktion erhaltenen Rest (37) hängt man die Ziffern der nächsten Klasse (22) und dividiert mit dem Doppelten des Resultats 58, also mit 116, in 372, indem man die letzte Ziffer (2) von 3722 vorläufig unbeachtet läßt. Der Quotient (3) ist die nächste Ziffer des Resultats, wird aber auch an den Divisor 116 angehängt, worauf man 3 . 1163 = 3489 von 3722 subtrahiert und den Rest 233 erhält. Mit diesem Rest und dem Resultat 583 wiederholt man nun dasselbe Verfahren, d. h. die Operationen 3) bis 5), wodurch man noch die Ziffer 2 des Resultats erhält, wobei die Rechnung aufgeht. Es ist also 5832 die gesuchte Wurzel. (Vgl. A, wo die an die Divisoren angehängten Quotienten durch kleinere Schrift ausgezeichnet sind.) Es gründet sich das hier erläuterte Verfahren auf die Formel (a + b)²= a² + 2ab + b²; a ist der bereits bekannte Teil der Quadratwurzel, b der durch Division mit 2a in den Rest zu findende Teil.

7) Wenn bei wiederholter Ausführung der Operationen 3) bis 6) alle Klassen heruntergenommen sind, ohne daß die Rechnung aufgeht, so läßt sich die Quadratwurzel nicht genau angeben (sie ist irrational). Man kann aber durch Wiederholung der genannten Operationen, indem man statt der »2 Ziffern der nächsten Klasse« je 2 Nullen an den Rest anhängt, beliebig viele Dezimalstellen der Wurzel abrechnen (vgl. die Rechnung B) ^[img].

8) kommt bei einer Division der Quotient Null heraus, so hänge man denselben an das Resultat und den Quotienten, nehme sodann die nächste Klasse herunter und dividiere weiter. (Vgl. die Rechnung C, wo 9 : 12 den Quotienten 0 gibt, worauf man 966 : 120 = 8 erhält.) ^[img] 9) Geht die Subtraktion auf, und bleiben noch eine oder mehrere Klassen übrig, die lauter Nullen enthalten, wie in C, so hängt man an das bis dahin erhaltene Resultat (608) so viel Nullen, als noch Klassen da sind. In C ergibt sich also 60800 als Wurzel 10) Soll man die Quadratwurzel aus einer Zahl ziehen, die mit einem Dezimalbruch behaftet ist, so beginnt man die Abteilung in Klassen von je 2 Ziffern vom Dezimalkomma aus, in den Ganzen nach links, in den Dezimalen nach rechts gehend; dabei kann man der letzten Klasse (rechts) in den Dezimalen, wenn sie nur eine einzige Ziffer enthält, eine Null anhängen. ¶