Ziffern | eLexikon | Mathematik - Eigentliche Arithmetik

Ziffern

(Zahlzeichen), schriftliche Zeichen zum Ausdruck der Zahlen. Ein sehr nahe liegendes Hilfsmittel besteht in der Benutzung der Buchstaben des Alphabets als Ziffern, wie wir dies bei den alten Griechen seit dem 5. Jahrh. v. Chr. finden. Dieselben ergänzten zu dem Zweck ihr (ionisches) Alphabet durch 3 Episemen (Buchstaben eines ältern Alphabets), nämlich ϛ oder Vau, ϥ oder Koppa und ϡ oder Sampi, welche hinter ε, π und ω gesetzt wurden. Die Buchstaben α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ bedeuteten die Einer 1, 2,... 9, ferner ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ϥ die Zehner 10, 20,... 90 und ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω, ϡ die Hunderte 100, 200,... 900. Abgesehen von der großen Menge der Zeichen, hat dieses System den Mangel, daß die Entstehung der Vielfachen von 10 oder 100 aus diesen Zahlen und einem andern Faktor nicht erkennbar ist.

Die Darstellung größerer Zahlen mittels weniger Ziffern erfolgt nach verschiedenen Prinzipien. Das gewöhnlichste ist das additive Prinzip: man hat für 1, 10, 100, 1000 etc. besondere Zeichen, die man in entsprechender Zahl niederschreibt. Damit man diese Zeichen nicht zu oft wiederholen muß, gibt man auch den Zahlen 5, 50, 500 etc. eigne Zeichen. Hierher gehört das Ziffersystem, welches auf ältern griechischen Inschriften im Gebrauch ist: die Einheit wird mit einem Strich I bezeichnet;

für 5, 10, 100, 1000 und 10,000 werden Anfangsbuchstaben der Zahlwörter Pente, Deka, Hekaton, Chilioi, Myrioi benutzt;

Romanzement - Römer

50, 500, 5000 und 50,000 werden durch das Zeichen für 5 ausgedrückt, in welches man die Zeichen für 10, 100, 1000 und 10,000 einschreibt. Es ist also I = 1, II = 2, ^ = 5, ^III = 8, ∆ = 10, ∆∆∆ = 30, ∆∆∆II = 32, ^ = 50, H = 100, ^ = 500, X = 1000, M = 10,000. Bei Anwendung dieses Prinzips gehen die höhern Stufenzahlen den niedern im Sinn der Schrift voraus, doch findet sich hiervon im Ziffernsystem der Römer [* 2] eine Ausnahme.

Dasselbe hat die einfachen Zeichen I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, IↃ oder D = 500, CIↃ oder M = 1000; es ist also nach dem additiven Prinzip MDCCCLXXVIII = 1878. Man setzt aber auch die niedere Zahl links vor die höhere und gibt dadurch der erstern eine negative Bedeutung: IX = 9, XL = 40, XC = 90. Abweichend sind im römischen Ziffersystem: CIↃↃ = 5000, CCIↃↃ = 10,000, CCIↃↃↃ = 50,000, CCCIↃↃↃ = 100,000, CCCCIↃↃↃↃ = 1 Mill. Ein andres Prinzip besteht darin, durch unter oder über die Ziffern gesetzte Zeichen den Zahlwert zu vervielfachen.

Europa. Fluß- und Gebi

Dasselbe findet Anwendung bei den spätern griechischen Buchstabenziffern für die Tausende, welche durch dieselben Buchstaben wie die Einer, nur mit untergesetzten Strichen bezeichnet werden: ᾳ = 1000, βͺ = 2000 bis ιͺ = 10,000 oder eine Myriade. Nach einem dritten Prinzip wird der Wert durch vorangestellte Koeffizienten vervielfacht. So bezeichnen z. B. Pappos und Diophant 2 Myriaden = 20,000 durch βΜυ, während αΜυβ = 10,002 ist. Weiter ist zu erwähnen die im frühern Mittelalter in Europa [* 3] vorkommende Schreibweise mit Kolumnen, die mit I, X, C etc. überschrieben sind, und in welche man die Anzahl der Einer, Zehner, Hunderte etc. einträgt; sind für eine Stufe keine Einheiten vorhanden, so bleibt die betreffende Kolumne leer; vgl. nebenstehend die Schreibweise von 542, 540, 502 und 42. Es bedarf nur noch eines Zeichens für eine leere Stelle, der Null, um die Kolumnen entbehren zu können und die jetzt bei uns übliche Schreibweise zu erhalten, bei welcher jede Ziffer durch den Platz, den sie einnimmt, ihren Wert (Positions- oder Stellenwert) erhält.

Italien

Dieses System nun, in welchem sich jede ganz beliebig große Zahl mittels der 10 Ziffern 0, 1, 2 etc. bis 9 ausdrücken läßt, stammt von den Indern her, bei denen es zuerst im 5. Jahrh. n. Chr. auftritt. Nach dem Abendland ist es von den Arabern gebracht worden, daher auch unsre Ziffern gewöhnlich »arabische« genannt werden. Diese Ziffern, doch zum Teil in Formen, die beträchtlich von den jetzigen abweichen, und ohne die Null, findet man schon in Handschriften aus dem 11. und 12. Jahrh.; mit dem Prinzip des Stellenwertes aber ist das christliche Abendland hauptsächlich durch den »Liber Abaci« (1202) des Pisaners Leonardo Fibonacci (s. d.) bekannt geworden. In Italien [* 4] scheint das neue Ziffersystem schon im 13. Jahrh. von den Kaufleuten benutzt worden zu sein, aber noch im 14. und 15. Jahrh. findet man es in nicht mathematischen Schriften selten; allgemeiner werden die neuen Ziffern in Schrift und Druck erst seit Mitte des 16. Jahrh. Mit den Ziffern kam auch das arabische Wort für die Null, sifr, zu uns, das, im Lauf der Zeit seine Bedeutung ändernd, in »Ziffer« übergegangen ist.

Vgl.   Treutlein, Geschichte unsrer Zahlzeichen (Karlsr. 1875).

[* 1] ^[Abb.: Kolumnenschreibweise]

Titel

[16.901] Ziffern (Zahlzeichen)

Ziffern,

die Schriftzeichen für die Zahlwörter. In den ausgebildetern Sprachen sind die Zahlwörter (s. d.) auf das Dezimalsystem gegründet: Zehn Einer machen einen Zehner, zehn Zehner ein Hundert, zehn Hunderte ein Tausend. Die Zählung nach 60 war im alten Babylon, nach 20 beiderseits des Atlantischen Oceans gebräuchlich. Die Zahlzeichen der meisten alten Völker und die Methoden, mit denselben alle oder möglichst viele Zahlen zu schreiben, waren höchst unbequem; meist bedienten sie sich dazu der Buchstaben ihrer Alphabete. W. von Humboldt in seiner Abhandlung «Über die bei verschiedenen Völkern üblichen Systeme von Zahlzeichen und über den Ursprung des Stellenwerts in den ind. Zahlen» teilt die bekannt gewordenen Methoden, die Zahlen mit einer geringen Anzahl einfacher Ziffern zu schreiben, mit Ausschluß der heutigen Zahlensysteme, in vier Klassen:

1) Bloße Nebeneinanderstellung, wie bei den Tuskern, Römern, Griechen, Ägyptern und Mexikanern. Die entsprechenden Schriftzeichen der Griechen waren (nach dem Vorgang der Semiten) die ersten neun Buchstaben des Alphabets für die Einer, die zweiten für die Zehner, die dritten für die Hunderte, unter Beibehaltung von drei in der Schrift nicht mehr verwandten Buchstaben. Die Tausende wurden wie die Einer bezeichnet und den Buchstaben unten Striche angehängt, die Zehntausende wurden als Myriaden gezählt (s. unter 2) u.s.w.

Die Römer hatten sieben einfache Zeichen, I für 1, V für 5, X für 10, L für 50, C für 100, D oder ^[img] für 500, M oder ^[img] für 1000. Gleiche nebeneinander stehende Zeichen bedeuten eine Vervielfachung derjenigen Zahl, der das einfache Zeichen entspricht, z. B. XX (20), CC (200). Stehen zwei ungleiche Zeichen nebeneinander, so ist die kleinere Zabl abzuziehen, wenn sie links steht, dagegen zu addieren, wenn sie rechts stebt, z. B. I V (4), IX (9), XC (90), VI (6), XI (11), CX (110). Hiervon weichen indessen folgende Bezeichnungen ab: ^[img] = 5000, ^[img] = 10000, ^[img] =

50000, ^[img] = 100000, ^[img] = 1000000. 2) Vervielfachung und Verminderung des Werts durch darüber und darunter gesetzte Ziffern. Als Beispiel dienen die griech. Zahlen von 1000 an. Die Ziffern für die Einer bezeichnen nämlich Tausende, sobald ein Strich darunter steht, ^[img] z.B. bedeutet 5000; ^[img] bezeichnet eine Myriade oder 10000, β M 20000, und so giebt immer die über Μ stehende Zahl die Anzahl der Myriaden an. 3) Vervielfachung des Werts durch Koefficienten.

4) Vervielfältigung und Verminderung durch Abteilung von Zahlschichten, deren Wert sich in geometr. Progression vermindert.

Die alten, für das Rechnen äußerst unbequemen Schreibarten sind fast ganz verdrängt worden durch die ausgezeichnete ind. Erfindung, die Zehner, Hunderte u.s.w. wie die Einer zu bezeichnen und durch Anhängung von Nullen kenntlich zu machen. Auf den arab. Namen der Null (zifr, zafar) gründet sich der Name Ziffern für die ind. Zahlzeichen. Der ind. Erfinder ist unbekannt geblieben. Die Erfindung ist von den Arabern unter Almamun im 9. Jahrh. aufgenommen und ausgebildet worden, hauptsächlich durch Mohammed ibn Musa von Charizm.

Spanien und Portugal

Das Buch dieses Autors enthielt die einfachen Rechnungsregeln für die in arabisch-indischen Ziffern (jetzt häufig als arabische Ziffern bezeichnet) geschriebenen Zahlen, den Algorithmus (Alcharizmus), die gemeine Rechenkunst der Elementarschulen. Nach Europa ist der Algorithmus weniger auf dem Wege über Spanien [* 5] als vielmehr von Italien aus im 13. Jahrh. gelangt, seine allgemeinere Einführung erfolgte erst im 16. Jahrh. unter Beihilfe der Buchdruckerkunst.