Euclide : la division du canon

EUCLIDE

DIVISION DU CANON

1. Si (tout)[1] demeurait dans le repos et l’immobilité, il y aurait silence.[2] Or, s’il y avait silence et que rien ne fût en mouvement, aucun bruit ne frapperait l’oreille. Donc, pour que l’on puisse entendre quelque chose, il faut nécessairement qu’il y ait eu percussion et mouvement. En conséquence, comme tous les sons ont pour cause première une certaine percussion, et qu’une percussion n’est possible qu’autant qu’il y a eu mouvement; comme, en outre, parmi les mouvements, les uns sont plus denses, les autres plus rares; que les plus denses sont plus aigus, et les plus rares plus graves; enfin, comme les mouvements plus denses rendent les sons émis plus aigus, et les mouvements plus rares, les sons émis plus graves, il suit de là, nécessairement, que les sons seront plus aigus s’ils résultent de mouvements plus denses et plus nombreux; qu’ils seront plus graves s’ils résultent de mouvements plus rares et en plus petit nombre.[3] Par suite, les sons plus aigus qu’il ne convient, une fois relâchés,[4] au moyen d’une réduction de mouvement, atteignent le degré convenable, et les sons trop graves atteignent ce degré en étant surtendus[5] au moyen d’une addition de mouvements.

2. Toutes les choses composées de parties sont dites en rapport numérique entre elles; par conséquent, les sons doivent nécessairement être dits en rapport numérique entre eux.

3. Parmi les nombres, les uns sont dits en rapport multiple, les autres en rapport superparticulier, d’autres en rapport superpartient.[6] Il s’ensuit nécessairement que les sons seront dits en quelqu’un de ces rapports entre eux.

4. Parmi les sons, les multiples et les superparticuliers sont désignés par un même nom entre eux.[7]

5. Nous savons aussi que parmi les sons, les uns sont consonnants, les autres dissonants, et que les consonnants sont deux sons qui se confondent, les dissonants, deux sons qui ne se confondent pas.

6. Tout cela étant ainsi, il arrive naturellement que deux sons consonnants, puisqu’ils se confondent en un seul, appartiennent à des nombres désignés sous le même nom entre eux, qu’ils soient multiples ou superparticuliers.

7. THÉORÈME 1.[8] — Si un intervalle multiple doublé forme un nouvel intervalle, celui-ci sera aussi multiple.

D    I——-——-I——-——-I——-——-I——-——-I

B     I——-——-I——-——-I

G    I——-——-I

Soit un intervalle B (et un intervalle) G et soit B double de G; soit, en outre, la proportion G: B:: B: D. Je dis que D est aussi multiple de G. En effet, comme B est multiple de G, G mesure B.[9] Or, on avait la proportion G : B :: B : D; de sorte que G mesure aussi D. Donc D est multiple de G.

8. THÉORÈME II. — Si un intervalle doublé forme un intervalle total multiple, il est aussi multiple.

(Même figure.)

Soit un intervalle B (et un intervalle) G, et soit la proportion G : B :: B : D; soit, en outre, D multiple de G. Je dis que B est aussi multiple de G. En effet, comme D est multiple de G, G mesure D. Or, j’ai appris que si des nombres quelconques sont en proportion, et que le premier mesure le dernier, il mesurera aussi les moyens.[10] Donc G mesure D; donc B est multiple de G.

9. THÉORÈME III. — Les nombres placés au milieu d’un intervalle superparticulier ne peuvent ni un seul, ni plusieurs, se trouver en proportion.

B     I——-——I——-——-I——-——-I

G    I——-——I——-——-I

       R

D    I——I——I——I——-I   Z

Θ    I——I——I

En effet, soit un intervalle superparticulier B (par rapport à) G; soient des nombres minimes DZ, Θ, dans le même rapport que B et G. Ceux-ci sont donc mesurés par la seule unité comme commune mesure.[11] Retranche le nombre HZ, égal à Θ; comme il resta l’unité, DZ est donc superparticulier de Q, et l’excès est DH, commune mesure de DZ et de Θ. Donc, aucun nombre moyen (proportionnel) ne pourra tomber entre DZ et Θ, car le nombre survenant serait plus petit que DZ, mais plus grand que Θ, et l’unité serait divisée, ce qui est impossible.[12] Donc aucun nombre ne tombera entre DZ et Θ. Or, autant de nombres tombent comme moyens proportionnels entre les nombres minimes, autant tomberaient en proportion au milieu de ceux qui ont le même rapport.[13] Or, aucun ne tombera entre DZ et Θ; donc aucun nombre ne tombera entre B et G.

10. THÉORÈME IV. — Si un intervalle non multiple est doublé, l’intervalle total ne sera ni multiple, ni superparticulier.[14]

D    I——I——I——I——I——I——I——I——I——I

B     I——I——I——I——I——I——I

G    I——I——I——I——I——I

En effet, soit un intervalle non multiple B (par rapport à) G, et soit la proportion G : B :: B : D. Je dis que le nombre D n’est ni multiple, ni superparticulier de G. En effet, soit d’abord D multiple de G. Nous avons appris[15] que si un intervalle doublé produit un intervalle total multiple, il est multiple lui-même. Donc le nombre B sera multiple de G; mais il ne l’était pas (dans l’hypothèse); il est donc impossible que G soit multiple de G. Maintenant il n’est pas non plus superparticulier. En effet, aucun nombre ne tombe comme moyen proportionnel d’un intervalle superparticulier.[16] Or, le nombre B tombe entre les nombres D, G. Donc il est impossible que D soit ou multiple ou superparticulier de G.

11. THÉORÈME V. — Si un intervalle doublé forme un intervalle total non-multiple, il ne sera pas non plus multiple lui-même.

(Même figure.)

Soit un intervalle B (en rapport avec) G; et soit la proportion G : B :: B : D; soit D non multiple de G; je dis que le nombre B ne sera pas non plus multiple de G.

28. En effet, si B est multiple de G, D sera aussi multiple de G;[17] or, cela n’est pas. Donc B ne sera pas multiple de G.

12. THÉORÈME VI. — L’intervalle double se compose des deux plus grands superparticuliers, savoir : le sesquialtère et le sesquitiers.[18]

                         L

B     I——I——I——I——I——I——I   G

        K

D    I——I——I——I——I   Z

Θ    I——I——I——I

En effet, soit le nombre BG sesquialtère de DZ, et DZ sesquitiers de 8. Je dis que le nombre BG est le double de Θ. En effet, j’ai retranché le nombre ZK égal à 8, et le nombre GL égal DZ. Comme le nombre BG est sesquialtère de DZ, BL sera donc le tiers de BG et la moitié de DZ. Maintenant, comme DZ est sesquitiers de Θ, DK est le quart de DZ et le tiers de Θ. D’autre part, comme DK est le quart de DZ, et que BL est le tiers de BG, il s’ensuit que DK est le sixième de BΘ, or, DK était (par hypothèse) le tiers de Q, donc BG est le double de Θ.

13. Autre démonstration.[19]

A    I——I——I——I——I——I——I

B     I——I——I——I——I

G    I——I——I——I

En effet, soit le nombre A sesquialtère de B, et B sesquitiers de G. Je dis que A est le double de G. En effet, comme A est sesquialtère de B, A contient B plus la moitié de B. Donc deux nombres A sont égaux à trois nombres B. Maintenant, comme B contient G plus le tiers de G, trois nombres B sont égaux à quatre nombres G; or, trois B sont égaux à deux A, donc deux A sont égaux à quatre G, donc A est égal à deux G; donc A est le double de G.

13 bis. THÉORÈME VI bis.[20] — Aucun rapport multiple ne se compose de rapports superparticuliers, si ce n’est le rapport double.

En effet, si cela était possible, supposons qu’un autre rapport multiple, AG se compose de rapports superparticuliers, AB et BG et soient D sesquialtère de E, E sesquitiers de Z.

D    I——I——I——I——I——I——I

E    I——I——I——I——I

Z    I——I——I——I

D serait donc double de Z;[21] mais comme le plus grand rapport est le sesquialtère, et que le second est le sesquitiers, un des deux rapports DE, EZ, ou bien est identique avec l’un des deux rapports AB, BG, ou bien est différent de l’autre rapport, ou encore tous deux sont plus grands que les deux autres. Or, quel que soit le cas, D a un rapport plus grand avec Z que A avec G, ce qui est impossible; car, parmi les rapports multiples, le double est le plus petit. Donc aucun rapport multiple ne se compose de deux superparticuliers, si ce n’est le rapport double.

14. THÉORÈME VII. — L’intervalle formé d’un intervalle double et d’un intervalle sesquialtère est triple.

A    I——I——I——I——I——I——I

       I——I——I——I

G    I——I——I——I

En effet, soit le nombre A double de B, et B sesquialtère de G. Je dis que A est triple de G. Comme A est double de B, A est donc égal à deux B. Maintenant, comme B est sesquialtère de G, B contient G et la moitié de G; donc deux B sont égaux à trois G; or, deux B sont égaux à A; donc A est égal à trois G; donc A est triple de G.

15. THÉORÈME VIII. — Si d’un intervalle sesquialtère on retranche un intervalle sesquitiers, l’intervalle qui reste est sesquioctave.

A    I——I——I——I——I——I——I——I——I——I

B     I——I——I——I——I——I——I

G    I——I——I——I——I——I——I——I——I

En effet, soit A sesquialtère de B et G sesquitiers de B. Je dis que A est sesquioctave de G. Comme A est sesquialtère de B, A contient B et la moitié de B; donc huit A sont égaux à douze B. Maintenant, comme G est sesquitiers de B, G contient B et le tiers de B; donc neuf G sont égaux à douze B; donc huit A sont égaux à neuf G; donc A est égal à G plus le huitième de G; donc A est B sesquioctave de G.

16. THÉORÈME IX. — La somme de six intervalles sesquioctaves est plus grande qu’un seul intervalle double.[22]

En effet, soit un nombre donné A; soit B le sesquioctave de ce nombre, G le sesquioctave de B, D le sesquioctave de G, E le sesquioctave de D, Z le sesquioctave de E et H le sesquioctave de Z; je dis que H est plus grand que le double de A. Comme nous avons appris à trouver sept nombres successifs, progressant dans le rapport sesquioctave,[23] soient trouvés les nombres’ A, B, G, D, E, Z, H.[24]

Le nombre A est 262144

       —        B 294912

       —        G 331776

       —        D 373248

       —        E 419904

       —        Z 472392

       —        H 531441

H est plus grand que le double de A.[25]

17. THÉORÈME X. — L’octave est un intervalle multiple.[26]

A    I————I————I————I————I

B     I————I————I

G    I————I

 (En effet) Soit A, la nète des hyperboléennes, B, la mèse, G, le proslambanomène. L’intervalle A-G, qui forme une double octave, est consonnant; il est donc superparticulier ou multiple.[27] Or, il n’est pas super- particulier, car aucun son placé au milieu d’un intervalle superparticulier ne tombe en proportion;[28] il est donc multiple. Donc, comme les deux intervalles égaux A-B, B-G réunis forment un total multiple, l’intervalle AB aussi sera multiple.[29]

18. THÉORÈME XI. — Chacun des deux intervalles de quarte et de quinte, est superparticulier.[30]

A    I——- I——- I——- I

B     I————I————I————I

G    I————I————I————I————I

En effet, soit A la nète des conjointes, B la mèse et G l’hypate des moyennes. L’intervalle A-G, double quarte (δισδιατεσσάρων), est dissonant, il n’est pas multiple.[31] Donc, comme les deux intervalles égaux A-B, B-G ne font pas un intervalle total multiple, l’intervalle A-B n’est pas non plus multiple,[32] or, il est consonnant; donc il est superparticulier.

Même démonstration pour la quinte.

19. THÉORÈME XII. — L’intervalle d’octave est double. En effet, nous avons montré qu’il est multiple.[33]

Par conséquent, il est double ou plus grand que l’intervalle double, mais, comme nous avons montré que l’intervalle double se compose des deux plus grands superparticuliers,[34] il en résulte que si l’octave est plus grande que l’intervalle double, elle se composera non pas de deux, mais d’un plus grand nombre d’intervalles superparticuliers. Or, elle se compose de deux intervalles consonnants, la quinte et la quarte. L’octave ne sera donc pas plus grande que l’intervalle double. Elle sera donc double.

Mais, comme l’octave est un intervalle double, et que l’intervalle double se compose des deux plus grands intervalles superparticuliers, l’octave se compose donc du sesquialtère et du sesquitiers, car ce sont les plus grands.

En effet, elle se compose de la quinte et de la quarte qui sont superparticulières. Donc la quinte, qui est le plus grand des intervalles (dont l’octave est composé),[35] sera sesquialtère, et la quarte, sesquitierce.

II est évident, d’ailleurs, que l’intervalle d’octave et quinte (quinte redoublée) est triple. En effet, nous avons montré que l’intervalle composé d’un intervalle double et d’un sesquialtère est triple;[36] de sorte qu’il est démontré que l’intervalle d’octave et quinte est triple, et que la double octave est quadruple.

On a donc montré dans quels rapports chacun des consonnants tient les sons compréhensifs entre eux.[37]

20. THÉORÈME XIII. — Il nous reste à parler de l’intervalle tonié (ou d’un ton), lequel est sesquioctave.

En effet, nous avons appris que, si, d’un intervalle sesquialtère, on retranche un intervalle sesquitiers, le reste est sesquioctave.[38] Or, si de la quinte on retranche la quarte, l’intervalle qui reste est celui d’un ton. Donc l’intervalle d’un ton est sesquioctave.

21. THÉORÈME XIV. — L’octave est un intervalle plus petit que six tons.

En effet, il a été montré que l’octave est double,[39] or le ton est sesquioctave.[40] Mais la somme de six intervalles sesquioctaves est plus grande que l’intervalle double.[41] Donc l’octave est moindre que six tons.

22. THÉORÈME XV. — La quarte est moindre que deux deux tons et demi, et la quinte, moindre que trois tons et demi.[42]

B     I——I——I——I——I——I——I

G    I——I——I——I——I——I——I——I

D    I——I——I——I——I——I——I——I——I

Z    I——I——I——I——I——I——I——I——I——I——I——I——I

Fn effet, soit B la nète des disjointes; G la paramèse; D la mèse et Z l’hypate des moyennes. Par conséquent l’intervalle GD est d’un ton; mais l’intervalle BZ, qui est une octave, est moindre que six tons;[43] donc les intervalles restants, BG et DZ, qui sont égaux, sont moindres que cinq tons; de sorte que BG, intervalle moindre que deux tons et demi, est une quarte, et que BD, moindre que trois tons et demi, est une quinte.

23. THÉORÈME XVI. — Le ton ne sera partagé ni en deux ni en plusieurs rapports égaux.[44]

En effet, il a été montré qu’il est superparticulier; or, dans un intervalle superparticulier, ni un seul (nombre) ni plusieurs ne peuvent tomber en proportion.[45] Donc le ton ne sera pas partagé en parties égales.[46]

24. THÉORÈME XVII. — Les paranètes et les indicatrices seront prises par consonance de la manière suivante:

Soit B une mèse;[47] surtendons à la quarte en G, et, e. à partir de G, relâchons à la quinte en D.[48] Donc l’intervalle BD est un ton. Maintenant, à partir de D surtendons à la quarte en E, et, à partir de E, relâchons à la quinte en Z. L’intervalle ZD sera donc un ton; ZB sera donc un diton. Donc D sera l’indicatrice.[49]

On prendra les paranètes de la même façon.

25. THÉORÈME XVIII. — Les parhypates et les trites ne partagent pas le pycnum en parties égales.[50]

En effet, soit B une mèse,[51] G une indicatrice, D une hypate. A partir de B, relâchons d’une quinte en Z, Z-D sera donc un ton. A partir de Z, surtendons d’une quarte en E. L’intervalle BE[52] sera donc un ton, ainsi que G-E.[53] Ajoutons l’intervalle commun D-G; Z-G sera donc égal à D-E; or, Z-E est une quarte; donc aucun son moyen ne peut tomber en proportion dans l’intervalle Z-E, car cet intervalle est superparticulier.[54] De plus le (rapport) D-Z est égal au rapport G-E [lequel est aussi superparticulier] ; donc, aucun (rapport) moyen ne tombera dans l’intervalle D-G,[55] lequel va de l’hypate à l’indicatrice. Donc la parhypate[56] ne partage pas le pycnum en parties égales.

Il en est de même de la trite.

26. THÉORÈME XIX. — Tracer le canon suivant le système appelé immuable.[57]

SECTION DU CANON

SUIVANT LES SYSTÈMES IMMUABLE ET MUABLE

[26] La figure qui suit est inexacte et inutile, puisque, d’une part, les sons les plus aigus y sont représentés par les cordes les plus longues, et que, d’autre part, les noms des sons suffisent pour faire connaître les intervalles qu’ils comprennent. Nous la reproduisons pour mémoire; on pourrait la remplacer par celle-ci:

A               B               G

I————I————I