Dichteste Kugelpackung / Geometrisches / Wetzel

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Inhalt

  1. Einleitung
  2. Schichtweises Errichten von Pyramiden aus Kanonen- oder anderen Kugeln
  3. Die unterste Schicht der Kugelpyramiden
  4. Die drei untersten Schichten der Kugelpyramiden
      4.1 Die Packungsdichte der vierseitigen Pyramide
      4.2 Die Packungsdichte der dreiseitigen Pyramide
  5. Vergleich zwischen den bei den beiden Kugelpyramiden angewendeten Packungen
      5.1 Durch Umlegen der Schichten einer dreiseitigen Pyramide entsteht eine vierseitige Pyramide
      5.2 Schichten mit quadratischem Muster im Inneren einer dreiseitigen Pyramide
  6. Die kubisch-fl�chenzentrierte Elementarzelle
  7. Die hexagonale Elementarzelle
  8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten
      8.1 Die Packungsdichte der kubisch-fl�chenzentrierten Elementarzelle
      8.2 Die Packungsdichte der hexagonalen Elementarzelle
  9. ABA und ABCA — in der Krisrallographie gebrauchte K�rzel beim Stapeln hexagonaler Kugelschichten
      9.1 Die ABA-Stapelfolge
      9.2 Die ABCA-Stapelfolge
      9.3 Quadratisch gemusterte Kugelschichten
10. Kugelpyramiden-Varianten
     10.1 Dreiseitige Kugelpyramiden
     10.2 Die vierseitige Kugelpyramide
     10.3 Eine sechseitige Kugelpyramide
     10.4 Eine aus hexagonalen Elementarzellen bestehende Kugelpyramide
11. Literatur

1. Einleitung   ↑ Anfang

Bei auf Burgen noch vorhandenen alten Kanonen oder in �lteren Festungen werden oft auch in Haufen geschichtete Kanonenkugeln aufbewahrt. Solche Kugelhaufen haben manchmal die Kontur einer dreiseitigen Pyramide (Abb.1, vorne). Meistens sehen sie aus wie vierseitige Pyramiden oder wie Walmd�cher (Abb.1, hinten und links). In der dreiseitigen Pyramide scheinen die Kugeln am dichtesten gepackt zu sein. Der Schein tr�gt aber: Die Packungsdichte ist in beiden Pyramiden gleich, wobei es sich um die dichteste Packung handelt, die mit Kugeln m�glich ist. Der Anteil ihres eigenen Volumens ist 74,048 % des von ihnen beanspruchten Raumes. Der Leerraum zwischen ihnen ist mit etwa 26% etwa ein Drittel ihres eigenen Volumens.

Es handelt sich um einen Grenzwert f�r aus unendlich vielen Kugeln bestehende Packungen. Bei endlich gro�en Kugelhaufen gilt er auch (Grenzwertbetrachtung nicht erforderlich), wenn man ihre H�lle durch die Mittelpunkte der sie begrenzenden Kugeln legt.

<< Abb.1  In einem kolonialzeitlichen Fort gestapelte
                Kanonenkugeln;
                eine dreiseitige Pyramiden- und
                zwei besonders lange Walmdach-Packungen
                [1, Seite 3, Abbildung 2 (a)]

Der Wert der gr��ten Packungsdichte wird im Folgenden hergeleitet, wobei stets beide o.g. Pyramidenformen (Abb.1 u. Abb.2) in vergleichende Betrachtungen einbezogen werden. Den Versuch, mich ausschlie�lich an Kanonenkugelpackungen — bzw. weil ich kein Burgherr sondern eher Pazifist bin — an z.B. aus Holz gefertigte Spielzeugkugeln zu halten, gab ich bald auf. Die Packungsdichte inkl. der bestm�glichen ist ein vorwiegend in der Kristallographie gebrauchter und ein dort allgemein entwickelter Begriff. Zudem sind dort weitere Zusammenh�nge erforscht, die auch beim Packen von Holzkugeln n�tzlich anwendbar sind, so dass ich einen etwas l�ngeren Ausflug in die Kristallographie unternehmen werde.

Abb.2  Zwei Kugelpyramiden; links Kanonen- (quadratische Basis), rechts Holzkugeln (gleichseitige Dreieck-Basis)
           [2, Abb.8]

2. Schichtweises Errichten von Pyramiden aus Kanonen- oder anderen Kugeln
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Es ist naheliegend, dass kompakte Packungen aus einzelnen ebenen, mit Kugeln belegten Schichten bestehen, und dass sich in den Packungen parallele und in mehreren Richtungen orientierte Kugelebenen bezeichnen lassen. Dabei ist keine Richtung bevorzugt. Es ist lediglich praktisch, dass ein Haufen aus Kanonenkugeln oder anderen Kugeln schichtweise vom Boden ausgehend erstellt wird. Und es spricht nichts dagegen, die horizontale Schichtung zur Basis allgemeiner Betrachtungen zu erkl�ren.

3. Die unterste Schicht der Kugelpyramiden  ↑ Anfang

Die L�cken in der untersten Schicht der vierseitigen Pyramide sind gr��er als die in der dreiseitigen. In Letzterer sind die Kugeln enger zusammen ger�ckt. Jede von ihnen ber�hrt 6 Nachbarkugeln (Abb.3-rechts). In der Ersten ber�hrt jede Kugel nur 4 Nachbarn (Abb.3-links). In der Mittenebene (enth�lt die Kugelmittelpunkte) dieser Schicht bleiben 21 % der Fl�che leer, w�hrend es bei der zur dreiseitgen Pyramide geh�renden Schicht nur 9,3 % sind. Diese Zahlen haben aber keine direkte Bedeutung, weil die gesuchte Packungsdichte eine das Volumen betreffende Verh�ltniszahl ist. Sie sind aber der Grund f�r die oben genannte T�uschung, dass die vierseitige Pyramide eine kleinere Packungsdichte h�tte.

Abb.3  Jeweilige unterste Schicht der Pyramiden aus Abb.12; links: CAD-Modell; rechts: Holzkugeln

Dass Kanonnenkugeln bevorzugt auf quadratischem oder allgemein rechteckigem Grundriss gestapelt wurden, ist vermutlich einem allgemeinen Hang zum rechten Winkel geschuldet. Durch Probieren w�re leicht herauszufinden gewesen, dass auch das regelm��ige Dreieck oder Vielfache davon (z.B. Raute und Sechseck) geeignet, ungerade Umrandungen (z.B. Kreis, Ellipse) aber eher ungeeignet sind. Damit die Kanonenkugeln nicht wegrollen, wurden sie von einem Rahmen umgeben oder in Boden-Dellen gelegt. Als die Burgen inklusive ihrer alten Waffen �ffentlich zug�nglich wurden, hat man sie –zumindest die �u�eren Kugeln– aneinander geschwei�t, damit keine Kugel "verloren gehen" kann. Der Rahmen verlor in diesem Moment seine Aufgabe.

4. Die drei untersten Schichten der Kugelpyramiden  ↑ Anfang

Eine Kugel, die man auf eine der beiden Bodenschichten legt, f�llt von selbst in eine der zwischen vier (vierseitige P.) bzw. drei (dreiseitige P.) Bodenkugeln bestehende L�cken hinein. Mit weiteren Kugeln entsteht eine weitere Schicht mit gleichem Muster wie in der Bodenschicht. Nur die Randreihen sind um je eine Kugel k�rzer. Sie liegen um einen halben Kugeldurchmesser gegen die Randreihe darunter versetzt. Da die Schichten der dreiseitigen Pyramide doppelt so viele L�cken wie Kugeln haben (aber nur jede zweite L�cke besetzt werden kann), hat man prinzipiell die Wahl, mit welcher L�cke man anf�ngt. Bei der hier zur Debatte stehende Pyramide (Abb.2-rechts), hat man immer die randn�chsten L�cken besetzt und dadurch eine steilwandige und bei gegebener Grundfl�che die gr��t m�gliche H�he erreicht.

Nach dem Auflegen der dritten Kugelschicht sind die L�cken der zweiten Schicht allseitig begrenzt, so dass in ihr die in allen Schichten g�ltige Packungsdichte untersucht werden kann.

Abb.4  Drei unterste Schichten der Pyramiden aus Abb.2 (hier links: vierseitige Pyramide ist halbiert); CAD-Modelle.
           Die Kugeln der beiden oberen Schichten sind teildurchsichtig, so dass ihre zentrische Lage in den darunter
           befindlichen L�cken erkennbar bleibt.

Herauszufinden sind Form und Volumen einer kleinsten Zelle, die von Teilen der eine L�cke umgebenden Kugeln begrenzt wird. Als Packunsdichte ergibt sich das Verh�ltnis zwischen der Differenz zwischen Zellenvolumen und L�ckenvolumen und dem Zellenvolumen.

Es zeigt sich, dass mit quaderf�rmigen Zellen (ebene Boden- und Deckfl�che) gearbeitet werden kann, indem man die ineinander "verzahnten" Kugelschichten "gl�ttet". Die "Z�hne" sind Teile (Kalotten) der von unten und oben in die L�cken hinenragenden Kugeln. Je eine H�lfte dieser Kalotten wird einer der benachbarten Schichten zugerechnet. Man gewinnt ebene "Stammschichten", die etwas weniger dick als der Durchmesser einer Kugel sind, und die aus quaderf�rmigen "Stammzellen" bestehen.

4.1  Die Packungsdichte der vierseitigen Pyramide   ↑ Anfang

Abb.5  Quadratische Stammzelle; links: vertikal beschnitten; rechts: zus�tzlich horizontal beschnitten

Die Stammzelle in den Schichten der vierseitigen Pyramide hat quadratischen Querschnitt (Abb.3-links). Ihre vertikalen Kanten f�hren durch die Mittelpunkte der vier die L�cke bildenden Kugeln (Abb.4-rechts). Je ein Viertel dieser Kugeln (in der Summe 1 ganze Kugel) liegt innerhalb der Zelle. Es ist leicht erkennbar, dass die von den oben und unten hineinragenden Kugeln abgetrennten Kalotten im Volumen gleich sind wie die jeweils vier oben und unten von den begrenzenden Kugelvierteln abgetrennten Spitzen. Anders gesagt: Vier Spitzen bilden zusammen ebenfalls und eine gleich gro�e (kopf�ber positionierte) Kalotte. Der Wegschnitt der Spitzen wird von der jeweiligen in der L�cke verbleibenden Kalotte der hineingefallenen Kugel kompensiert. Wegen der Gleichheit zwischen "verlorenem" und "gewonnenem" Volumen ist das in einer Stammzelle enthaltene Kugelvolumen genau so gro� wie das einer ganzen "unversehrten" Kugel. Die Rechenarbeit f�r die Ermittlung der Packungsdichte wird folglich stark gemindert.

<< Abb.6  Quadratische Stammzelle (Diagonalschnitt):
                mit Skizze f�r die Berechnung

↑↑ Abb.7  Quadratische Stammzelle:
                Berechnung der Packungsdichte

4.2  Die Packungsdichte der dreiseitigen Pyramide   ↑ Anfang

Hier hat die Stammzelle rautenf�rmigen Querschnitt (siehe Abb.4-rechts). Sie enth�lt ebenfalls vier Kugelteile (zwei
Kugel-Sechstel und zwei Kugel-Drittel), die zusammen wieder eine ganze Kugel ausmachen. Anstatt nur einer von vier Kugelvierteln gebildeten L�cke enth�lt sie zwei kleinere, jeweils von drei Teil-Kugeln gebildete L�cken. Die L�cken liegen n�her beisammen, so dass nicht in beide Kugeln hineinfallen k�nnen. In die eine f�llt eine von oben, und in die andere ragt eine von unten hinein (beides weiniger tief als bei der vierseitigen Pyramide). Die Stammschicht ist somit dicker, und die Kalotten sind kleiner.

Abb.8  Rautenf�rmige Stammzelle; links: vertikal beschnitten; rechts: zus�tzlich horizontal beschnitten
           (in der Draufsicht gegen�ber Abb.4/rechts um 90� gedreht)

Auch hier ist leicht erkennbar, dass das Volumen der von den beiden Kugeln verbleibenden Kalotten gleich gro� wie das zusammen gez�hlte Volumen der von den vier die L�cke bildenden Kugel-Teilen abgetrennten acht Spitzen ist. Die Rechenarbeit (Abb.10) f�r die Ermittlung der Packungsdichte ist etwas l�nger, aber gleich einfach wie bei der vierseitigen Pyramide.

<< Abb.9  Rautenf�rmige Stammzelle
                (gro�er Diagonalschnitt):
                mit Skizze f�r die Berechnung

↑ ↑ Abb.10  Rautenf�rmige Stammzelle
                 Berechnung der Packungsdichte

Das Volumen der rautenf�rmigen Stammzelle ist gleich gro� wie das der quadratischen. Folglich hat sich der Quotient aus Kugelvolumen V_K und Zellenvolumen V_Z nicht ge�ndert. Die Packungsdichte ist gleich wie in der vierseitigen Pyramide, n�mlich ≈ 74,05 % .

Der Vergleich der Rechnungen (Abb.10 mit Abb.89) zeigt, dass die Stammschicht in gleichem Ma�e dicker wie ihre Grundfl�che kleiner geworden ist. Das Verh�lnis der Dicken h_Quad / h_Raute ist √3 /2, und das der Grundfl�chen
F_Quad / F_Raute ist 2 /√3.

5. Vergleich zwischen den bei den Kugelpyramiden angewendeten Packungen
    ↑ Anfang

Da die vierseitige und die dreiseitige Pyramide die gleiche (mit etwa 74 % die dichteste) Kugelpackung haben, verbl�fft wegen ihrer �u�erer Verschiedenheit. Sind sie nur scheinbar verschieden? Verschwindet ihr verschiedenes Erscheinen, wenn man sie in gleicher Weise betrachtet? Wie w�re diese gleiche Weise zu formulieren?

Bei genauerem Hinsehen stellt man fest, dass die Seitenw�nde beider Pyramiden das gleiche hexagonale Muster
(6 Kugeln umschlie�en eng eine 7. Kugel, Abb.2) aufweisen. Das hei�t, dass auch bei der vierseitigen Pyramide dieses schon in der Grundschicht der dreiseitigen Pyramide vorhandene Muster (Abb.3-rechts) auftritt. Und, es stellt sich sofort die Frage nach dem Umgekehrten: Tritt das quadratische Muster, wenn schon nicht in den sichtbaren W�nden der dreiseitigen Pyramide, so doch in ihrem Inneren auf?

5.1  Durch Umlegen der Schichten einer dreiseitigen Pyramide entsteht eine
       vierseitige Pyramide   ↑ Anfang

Diese Feststellung und die Kenntnis davon, dass man Schichten mit hexagonalem Muster auf zweierlei Weise aufeinanderlegen kann (s. Abschnitt 4., erster Absatz), gaben Anlass, das Modell der dreiseitigen Pyramide (Abb. 2-rechts und Abb.11-links) einmal anders zu schichten: Die Schichten waren untereinander nicht verleimt, sodass sie anders aufeinander gelegt werden konnten. In der Variante (Abb.11-rechts; schiefe Pyramide) ist das zweite m�gliche Aufeinanderlegen angewendet: nicht in die randn�chsten, sondern in die weiter entfernten L�cken, wobei kein seitlicher Versatz gegen�ber der jeweils darunter liegenden Schicht entstand.
Ergebnis:
Die �berh�ngende Seite ist hexagonal gemustert geblieben. Aber die beiden anderen Seiten haben quadratisches Muster bekommen. Sie sind also gleich wie die Bodenschicht der vierseitigen Pyramide (Abb.3-links) gemustert.

Abb.11  Schichten der Dreierpyramide verschieden aufeinander gelegt
             links: Standard; rechts: Folgeschicht jeweils leicht nach rechts und nach hinten verschoben

Da nun eine Packung vorlag, die auch quadratisch gemusterten Fl�chen enthielt, war es naheliegend, eine davon zur Bodenschicht zu machen (Abb.12; die wieder verwendeten Schichten wurden zusammen geleimt).
Ergebnis: Aus der ehemals dreiseitigen Pyramide (Abb.2-rechts) ist eine halbe vierseitige Pyramide (Abb.2-links) geworden (da die mittlere vertikale Schicht nicht halbiert wurde, macht sie etwas mehr als eine halbe vierseitige Pyramide aus).
Zus�tzliches Ergebnis: Eine vierseitige Pyramide enth�lt nicht nur horizontale sondern auch vertikale quadratisch gemusterte Schichten. Diese treten im Inneren auf und haben die Richtung der Pyramidendiagonalen (Abb. 12-rechts).
Nebenbemerkung:
Dass diese Pyramide im Inneren auch hexagonale Schichten hat, ist schon bekannt, denn die von au�en sichtbaren Schichten (hier auf den vier W�nden) setzen sich als Parallele ins Innere fort. Das gilt allgemein: Die hexagonalen Seitenwand-Schichten der dreiseitigen Pyramide setzen sich dort auch parallel ins Innere fort.

Abb.12  auf eine neue Seitenfl�che gelegte Dreierpyramide (Abb.11-rechts: gegeneinander verschobene Schichten)
             mit dem Ergebnis einer halben Viererpyramide
             links: Blick von vorn; rechts: Blick von hinten (auf Pyramidendiagonale)

5.2  Schichten mit quadratischem Muster im Inneren einer dreiseitigen Pyramide   ↑ Anfang

Die vierseitige Pyramide zeigt beide Legemuster auf den sie begrenzenden Oberfl�chen (Boden und W�nde). Beim oben besprochenen Umlegeexperiment wurde sichtbar, dass quadratische Schichtmuster nicht nur horizontal, sondern auch vertikal in ihr existieren.

Der mehrfach auftretende Winkel zeigt, dass die gekappte dreiseitige Pyramide ein Eckst�ck eines W�rfels (Hexaeder) ist. Die Kombination der dichtest gepackten Kugeln zu W�rfeln (kubisch-fl�chenzentriertes Gitter) im Inneren solcher Kugelhaufen gilt es herauszustellen. Als beispielhafter Kugelhaufen wird die Standard-Dreiseiten-Pyramide benutzt.

W�hrend der derzeitigen Corona-Krise (April 2020) kann ich keine Holz- oder anderer Kugeln nachkaufen, so dass mir keine weiteren Experimente mit anfassbaren Kugeln m�glich sind. Ich stelle im Folgenden auf virtuelle Modelle um.

Abb.13  Kanten-paralleler Schnitt durch eine Standard-Dreierpyramide
             links; Dreierpyramide (siehe auch Abb. 2-rechts und Abb.11-links)
             Mitte: linke Kante abgeschnitten
             rechts: Blick auf die Schnittfl�che der Rest-Pyramide
                 Vorschau: Aus der Schnittfl�che ragen ein paar ungeschnittene, rot markierte Kugeln hervor. Es handelt sich um 5 von 14 Kugeln,
                 die an der kubisch-fl�chenzentrierten Kristallzelle, die weiter unten behandelt wird, beteiligt sind.

Um Schichten in einer Pyramide mit anderen als den Mustern auf den Oberfl�chen erkennen zu k�nnen, ist sie nicht-parallel zu einer Oberfl�che zu durchschneiden. Dabei bietet sich ein zu den Kanten paralleler Schnitt durch die beiden ihr benachbarten Fl�chen an. In Abb.13 f�hrt der Schnitt durch die jeweils dritte von der linken Kante (rote Linie) entfernte, auf den angrenzenden Fl�chen befindlichen Kugelreihe (schwarze Linien) hindurch. Nach Wegnahme der Kanten-nahen und der durch den Schnitt entstandenen halben Kugeln ist auf der Rest-Pyramide das von der Viererpyramide bekannte quadratische Muster sichtbar (rechts in Abb.13).

<< Abb.14  Kugelw�rfel       [2, Abb.9]

Das wie erwartet gefundene quadratische Schichten-Muster ist inzwischen Nebensache geworden. Der Makro-W�rfel von Abb.14 lenkt das Augenmerk jetzt auf die kubische Elementarzelle.

6. Die kubisch-fl�chenzentrierte Elementarzelle   ↑ Anfang

Bei der Besch�ftigung mit der dichtesten Kugelpackung ist an der Kristallographie nicht vorbeizukommen. Sie spielt bei der Beschreibung der Volumen-minimierten Zusammensetzung der Materie aus ihren kleinsten Teilchen (Atome, Molek�le u. a.) eine wichtigere und bleibendere Rolle als bei den Kanonenkugeln. Die Methoden zur Beschreibung eines solchen geometrischen Problems im dreidimensionalen Raum wurden erst vom Fachgebiet Kristallographie relativ umfassend erarbeitet. Sie sind allgemein — so auch f�r Kanonenkugeln und Spielkugeln — anwendbar, obwohl sie aus der Kristallographie heraus wegen der Kleinheit derer Objekte nicht besonders anschaulich vermittelbar sind. Bei den kleinsten Teilen der Materie muss man zudem Annahmen �ber deren Gestalt machen. Man kennt diese gar nicht umfassend genau. So ist die kugelf�rmige H�lle der Atome lediglich eine — f�r den Zweck der Untersuchungen aber ausreichende — Annahme.

Abb.15  kubisch-fl�chenzentrierte Elementarzelle
             links: aus dreiseitiger Pyramide herausgearbeitet (siehe Abb.13)
             rechts: Kristallographie-�bliche Darstellung (Wikipedia)

7. Die hexagonale Elementarzelle   ↑ Anfang

Es gibt nicht nur die hexagonal gemusterte Kugelschicht und die darin zu findende kubische Elementarzelle, sondern doch auch die sogenannte hexagonale Elementarzelle (Abk�rzung h. c. c = hexagonal centered cell). Bei den Metallen ist sie sogar etwas h�ufiger als die kubische [4]. Der Unterschied zwischen den beiden Zellentypen ist nicht die Hexagonalit�t in den Kugelschichten, sondern beruht darauf, dass die Schichten aus kleinsten Teilchen der Materie auf zweierlei Weise aufeinander gestapelt sind. Die kubische Zelle erstreckt sich �ber vier Schichten, von denen erst die dritt-folgende fluchtend �ber der ersten liegt. Die hexagonale Zelle erstreckt sich auch �ber mehrere Schichten (�ber drei), wobei aber bereits die zweit-folgende �ber der ersten liegt. Andere Stapelreihenfolgen kommen in der Natur kaum vor, obwohl prinzipiell (unendliche Ausdehnung der Materie unterstellt) unendlich viele Stapelfolgen m�glich sind. Einzige Einschr�nkung ist: Die erst-folgende Schicht kann wegen des Einrastens in die L�cken in der Schicht darunter nicht fluchtend �ber dieser liegen. Dass es �berhaupt zu Unterschieden kommen kann, liegt daran, dass es zwei m�gliche Stellen zum Einrasten gibt (formal 6, was sich aber wegen der diesbez�glich 3-fachen Symmetrie in der Schichtebene rund um eine Kugel auf praktisch nur 2 reduziert). In der Kristallographie werden die beiden allein bedeutsamen Stapelfolgen mit den K�rzeln ABAB... (hexagonale Zelle) und ABCABC... (kubische Zelle) angegeben.

Abb.17  hexagonale Elementarzelle
             links: aus drei hexagonalen Kugelschichten herausgearbeitet
             rechts: Kristallographie-konsequente Darstellung

Eine mit massiven Kugeln gef�llte hexagonale Elementarzelle ist ein "Unding". Sie enth�lt zwar genau die Volumenmenge einer ganzen Kugel, beherbergt diese aber in drei Teile zerschnitten. Der Grund daf�r ist, dass die Kugel nicht in der Mitte des rautenf�rmigen Mantels dieses Quaders sitzt. Die kleineren Kugelteile (Kalotten) geh�ren formal zu zwei Nachbarzellen, die beim Parkettieren des Raums rundum angef�gt werden und dort zu "heilen" Kugeln f�hren. Zwei weitere Nachbarn "liefern" je eine Kalotte, mit denen der gro�e Kugelrest in der beschnittenen Ausgangszelle wieder zu einer ganzen Kugel erg�nzt wird. In der Kristallographie st�rt das, was ich als Unding empfinde, �berhaupt nicht, denn die Bezeichnung des z.B. riesigen leeren Raums um den Atomkern herum, in dem sich ein paar Elekrtronen aufhalten, als Kugel ist lediglich eine f�r die n�tzliche Beschreibung der Materie gebrauchte Analogie. Meistens werden sogar kleine Kugeln oder nur Punkte in die Zelle eingezeichnet (Abb.18,links). Bei diesem Brauch ragt dann nichts �ber den Rand der Zelle hinaus. Die N�tzlichkeit der Kristallographie h�ngt nicht vom Gebrauch �sthetisch ansprechender Objekte in den Bildern ab.
Es gibt allerdings auch hier wie in jedem Fachgebiet Ungereimtheiten. Eine davon ist der Name Hexagonale Elementarzelle, die gar kein hexagonal geformter K�rper ist. Man hat offensichtlich zuerst mit der "echten" hexagonalen Zelle gearbeitet und ein Drittel davon erst sp�ter zur nicht mehr verkleinerbaren rautenf�rmigen (120� stumpfer Innenwinkel) Elementarzelle erkl�rt. Am Problem des Hinausragens �ber den Zellenrand �nderte das nichts; vorher waren drei innere Kugeln betroffen, danach eine. Der beibehaltene Namen irritiert den au�enstehende Interessent. Aufkl�rung dar�ber ist nicht zu finen (ich habe allerdings auch nur Enzyklop�dien und keine Lehrb�cher gelesen).

Abb.18  hexagonale Kugelzellen
             links: in Chemie/Kristallographie bevorzugte Darstellung der Elementarzelle mit kleinen, die Zelle nicht
             f�llenden Kugeln (h�ufig noch kleiner als im vorliegenden Bild)    [5]
             rechts: Entwurf einer �sthetisch ansprechenderen Zelle mit ausschlie�lich zentrisch geschnittenen Kugeln

Noch eine Bemerkung zu meinem Empfinden der hexagonalen Zelle als "Unding":
Ich werde diesen Artikel neben andere Artikel unter dem Stichwort Geometrisches einordnen, in denen es um "Platonische Gegenst�nde", ..., die man lieben kann, ohne dass sie einem zudienen, geht. Sie dienen mir nur ausnahmsweise zur Erkl�rung eines nat�rlichen Zusammenhangs. Das ist jetzt der Fall bei den Kugelpackungen, von denen ich bisher nur Arrangements erstellte [2, Abb.n 8 u. 9]. Nun interessiert mich die nat�rliche Erscheinung, dass die Packungsdichte von Kugeln einen Grenzwert besitzt. Von der Kristallographie, die diesen Zusammenhang inkl. des Grenzwertes der dichtesten Kugelpackung seit langem kennt, erfuhr ich von zwei Elementarzellen,in denen dichtest gepackte Kugeln zusammengefasst werden. Die eine, n�mlich die kubisch-fl�chenzentrierte nehme ich als �sthetisch sehr sch�nes Kugelarrangement wahr, w�hrend mich die hexagonale gar nicht anspricht. Diese Abneigung regte mich an, etwas Ansprechenderes zu suchen. Gefunden habe ich die in Abb.18-rechts dargestellte Minizelle (mini, weil die Addition der darin enthaltenen Kugelteile nur ein Drittel einer ganzen Kugel ausmacht). Meinen Anspruch nach �sthetik erf�llt sie, nur ist sie als Elementarbaustein der Materie nicht brauchbar. Mit ihr kann der Raum nicht l�ckenlos besetzt ("parkettiert") werden (keine �berraschung, sonst w�re sie wohl in der Kristallographie bekannt).

8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten   ↑ Anfang

Die in der Kristallographie gebrauchten Elementarzellen sind gr��er als die von mir in den Abschnitten 4.1 und 4.2 gebildeten "Stammzellen". Letztere gen�gten f�r die Berechnumng des Werts der dichtesten Kugelpackung. Form und Gr��e der kristallographischen Elementarzellen sind anders, damit sie der Aufgabe gen�gen, kleinste Bausteine f�r die l�ckenlose Zusammensetzung der Materie zu sein. Den Wert der dichtesten Kugelpackung kann man mit ihnen auch berechnen.

8.1  Die Packungsdichte der kubisch-fl�chenzentrierten Elementarzelle   ↑ Anfang

Abb.19  Kubisch-fl�chenzentrierte Zellen: Elementarzelle (links) und Stammzelle in Elementarzelle (rechts)

8.2  Die Packungsdichte der hexagonalen Elementarzelle   ↑ Anfang

Die hexagonale Elementarzelle ist gegen�ber der hexagonalen Stammzelle weniger im Vorteil, denn bei ihr werden Kugeln auch au�ermittig geschnitten (allerdings nur die inneren und nicht alle beteiligten wie bei der Stammzelle). Die Aufteilung der weggeschnittenen Kalotten ist weniger leicht �berschaubar. Allenfalls ist eine geometrische Rechnung erforderlich. Ich unterlasse sie und vertraue darauf, dass aus dem Bild (Abb.20-links) eindeutig genug ersichtlich ist, dass die Kalotten (rechts) genau auf die Schnittfl�chen der Kugel (links) passen. Kopfrechnen in Verbindung mit einem Blick auf dieses Bild erbringen, dass die Elementarzelle vom Volumenwert zweier ganzer Kugeln besetzt ist: 8 St�ck Achtel-Kugeln innerhalb der 8 Ecken + eine ganze Kugel ausmachende drei Kugelteile tiefer im Inneren (8·1/8 + 1 = 2).
Meine Stammzelle ist aus dem oberen und den unteren Viertel der Elementarzelle zusammengesetzt. Ihre H�he ist die H�lfte der der Elementarzelle (Messen in den ma�st�blich gleichen Abbildungen sollte erneut als Nachweis daf�r gen�gen). Ich habe sie ungeteilt �ber das untere Viertel der Elementarzelle gezeichnet (Abb.19-rechts). Die Grundfl�chen beider Zellen sind gleich. Die Stammzelle ist halb so gro� wie die Elementarzelle und enth�lt nur eine anstatt zwei Kugeln. Also haben beide Zellen die gleiche Packungsdichte.

Abb.20  Hexagonale Zellen: Elementarzelle (links) und Stammzelle (teilweise �ber Elementarzelle gezeichnet, rechts)

9. ABA und ABCA — in der Krisrallographie gebrauchte K�rzel beim Stapeln
     hexagonaler Kugelschichten   ↑ Anfang

Abb.21  Stapel-Reihenfolgen hexagonaler Kugel-Schichten
             unten: 6 m�gliche Verschieberichtungen f�r eine deckungsgleich auf eine untere gelegte obere Schicht, von
                       denen nur 2 Richtungen (z.B. in Richtung der schwarzen Pfeile) praktische Bedeutung haben
             rechts: ABA-Folge (2 Varianten)
             links: ABCA-Folge (2. Variante mit gr�nen Pfeilen angedeutet;
                                         gelbe Pfeile f�hren zu einer kurzen Folge: ABA ab gelb, BCB ab rot)

9.1  Die ABA-Stapelfolge   ↑ Anfang

Rechts in Abb.21 ist die Stapelfolge ABA dargestellt. Sie entsteht auf zweierlei Weise. Im links gezeigten Fall wurde �ber eine wei�e Kugel der unteren A-Schicht eine gelbe der dar�ber folgenden B-Schicht gelegt und dann nach oben (Richtung im Bild) bis zur L�cke verschoben. Auf die gelbe Kugel wurde eine wei�e Kugel gelegt und dann nach halb-rechts verschoben. Alle Kugeln der Schicht, zu der sie geh�ren, liegen zentrisch (eingerastet in den L�cken direkt darunter) �ber den Kugeln der untersten Schicht, mit der das Stapeln begann. Deshalb wird diese Schicht auch als eine A-Schicht bezeichnet.
Im rechts gezeigten Fall wurde auf umgekehrten Weg (Verschiebung erst nach halb-rechts und danach nach oben) das gleiche Ergebnis erzielt.
Die ABA-Stapelung ist diejenige mit der kleinsten Stapelh�he ohne Wiederholung: 2 Schichtabst�nde zwischen 3 Schichten. Sie f�hrt zur hexagonalen Elementarzelle (s. Abb.17), dem ersten in der Kristallographie zur Beschreibung der Materie-Struktur in dichtester Packung konstruierten kleinsten Baustein.

9.2  Die ABCA-Stapelfolge   ↑ Anfang

Das Schema f�r die n�chst-kleinste Stapelh�he ohne Wiederholung ist ABCA und ist links in Abb.21 angewendet. Alle 3 aufgelegte Schichten wurden nach oben verschoben, bevor sich die zu oberst gelegene wieder zentrisch �ber der untersten einfand. Das gleiche Ergebnis kommt auch zustande, wenn man 3 mal nach halb-rechts verschiebt (angedeutet mit gr�nen Pfeilen).
Die ABCA-Schichtung enh�lt 3 Schichtabst�nde zwischen 4 Schichten und f�hrt zur kubisch-fl�chenztentrierten Elementarzelle (s. Abb.15), dem zweiten in der Kristallographie zur Beschreibung der Materie-Struktur in dichtester Packung konstruierten kleinsten Baustein.

<< Abb.22  Richtungen beim relativen Verschieben
                  einer aufgelegten Schicht

Zentrisch �ber der Ausgangsschicht liegt fr�hestens die zweit-n�chste und sp�testens die dritt-n�chste Schicht. Eine l�ngere Folge verschieden liegender Schichten ist nicht m�glich, denn es gibt nur drei Liege-M�glichkeiten: die Ausgangslage und je eine Lage �ber einer schwarz und �ber einer wei� markierten L�cke.

Abb.22 enth�lt eine Erg�nzung dazu, dass nur 2 der formal 6 Verschieberichtungen einer aufgelegten Schicht relevant sind. Die Verschiebung einer zentrisch auf die wei�e Kugel gelegte Kugel in eine bestimmte L�cke ist identisch mit dem schr�gen Zur�ckschieben einer von zwei nebenan aufgelegten Kugeln.

9.3 Quadratisch gemusterte Kugelschichten   ↑ Anfang

Die bei Kanonenkugelpyramiden bevorzugte quadratisch gemusterte Kugelschicht (Abb.3-links) hat keine allgemeine Bedeutung und spielt in der Kristallographie keine Rolle.

<< Abb.23  kubisch-fl�chenzentrierte Elementarzelle an
                  der Ecke eines Kugelw�rfels (s.a. Abb.14)
                  fl�chenzentrierte Kugeln (gelb) sind markiert

10. Kugelpyramiden-Varianten   ↑ Anfang

Die Kugelpyramiden, mit denen diese Arbeit beginnt (siehe Abbildungen 1 und 2), unterscheiden sich in der Neigung ihrer W�nde (und davon abh�ngig auch in ihrer H�he bei gleich vielen horizontalen Schichten). Das Muster auf den W�nden ist aber gleich und ein Indiz daf�r, dass eine (besser im Inneren erkennbare) Grundeigenschaft gleich sein muss. Diese ist die ABCA-Folge hexagonal gemusterter Schichten und die damit verbundene Zusammensetzung aus kubisch-fl�chenzentrierten Elementarzellen.

10.1  Dreiseitige Kugelpyramiden   ↑ Anfang

Die W�nde der in 5.1 durch Umlegen hexagonaler Schichten hinzugekommenene dreiseitige Pyramide (Abb.11-rechts, �berh�ngendes gekappt) ist (ebenso wie die vierseitige Pyramide, siehe unten) weniger steil (35,26� fehlen an senkrecht) als die dreiseitige Pyramide (nur 19,47� fehlen an senkrecht), aus der sie entstand. Dieser Unterschied ist auch in der Abb.21 erkennbar, und die angegebenen Winkel sind mit Hilfe dieser Abbildung berechenbar.
Das Wandmuster aus Abb.11-rechts (Kugeln in Falllinie �bereinander) wird in Abb.21-links (Stapelfolge ABCA) wiederholt. Auf dem Weg in den Kugelstapel hinein wird eine unterste Kugelreihe �bersprungen. W�hlt man den mit gr�nen Pfeilen angedeuteten Weg, so ist die Stapelfolge ABCA bereits mit einer Kugel �ber der n�chsten untersten Kugelreihe beendet, und die Wand f�llt wesentlich steiler aus. Dem schr�gen gr�nen Weg entspechen die auf den W�nden in Abb.2-rechts seitlich schr�g ansteigenden Kugelreihen.
Die oben angegebenen Winkelwerte ergeben sich mit folgenden Gr��en (Langeneinheit = Kugekdurchmesser):
horizontaler Abstand zwischen den Kugelreihen in einer Schicht : h = √3/2 = 0,866,
vertikaler Abstand zwischen den Kugelschichten; v = √2/√3 = 0,8165 (entspricht h in Abb.10)
tan α₁ = 2·h / (3·v) >>> α₁ = 35,26�,
tan α₂ = 1·h / (3·v) >>> α₁ = 19,47�.

10.2  Die vierseitige Kugelpyramide   ↑ Anfang

Die vierseitige Pyramide (Abb.2-links) ist genau gleich wenig steil wie die dreiseitige aus Abb.11-rechts. Aus Abb.21 ist hief�r nichts erkennbar, und die Wandneigung ist mit ihrer Hilfe nicht berechenbar. Hier liegen hexagonal, dort aber quadratisch gemusterte Kugelschichtern �bereinander.
Der Winkelwert kann aber ebenfalls leicht bestimmt werden:
Eine n�chst am Schichtrand aufgelegte Kugel liegt um einen halben Kugeldurchmesser vom Rand entfernt und um √2/2 eines Kugeldurchmesser h�her als die Kugeln darunter.
tan α₃ = ½ / (√2/2) >>> α₁ = 35,26�,
Auf diese Rechnung h�tte auch verzichtet werden k�nnen, denn zwischen dem Objekt von Abb.11-rechts und dem Objekt in Abb.12 wurden nur die "Seiten gewechselt": was vorher Wand war, wurde zur Bodenfl�che und umgekehrt. Der Winkel zwischen beiden Fl�chen wurde als α₁ bereits berechnet.

10.3  Eine sechseitige Kugelpyramide   ↑ Anfang

Im Abschnitt 3. habe ich �ber Vielfache des regelm��igen Dreiecks (z.B. Raute und Sechseck) spekuliert. Von den dazu erstellten virtuellen Modellen habe ich in Abb.24 die regelm��ige sechsseitige Pyramide aufgenommen, hier als Zwischenform zwischen zwei dreiseitigen Pyramiden.
   Links befindet sich die dreiseitige Pyramide von Abb.11-rechts (�berh�ngendes entfernt),
   in der Mitte die durch Kappen der Ecken dieser Pyramide entstandene regelm��ige sechsseitige Pyramide und
   rechts die durch Wegnehmen weiterer Kugeln entstandene dreiseitige Pyramide wie in Abb.2-rechts und Abb.11-links
      (nur etwas weniger hoch).
      Weiteres Wegnehmen von Kugeln, um wieder zur dreiseitigen Pyramide zu kommen, ist nicht m�glich. Der Turm w�rde einst�rzen.
Die sechsseitige Pyramide ist ein "Zwitter". Auf drei Seiten ist sie hexagonal, und auf den drei dazwischen befindlichen Seiten ist sie quadratisch gemustert.

Abb.24  Kugel-Pyramiden:  dreiseitig >> sechsseitig >> dreiseitig
             oben: Ansichten von vorn
             unten: Draufsichten

10.4  Eine aus hexagonalen Elementarzellen bestehende Kugelpyramide   ↑ Anfang

Als Letztes war die Frage zu kl�ren, warum alle bekannten (Kanonen-)Kugelpyramiden ausschlie�lich aus kubisch-fl�chenzentrierten Elementarzellen zusammengesetzt sind. Ein aus hexagonalen Elementarzellen erstelltes m�gliches Modell ist in Abb.25 gezeigt. Darin sind die erkennbar: Die W�nde sind nicht glatt sondern gestuft. Es ist ein Ding zwischen den beiden �u�eren Pyramiden von Abb.24. Auf gleicher Grundfl�che kann man weniger Kugeln stapeln als bei der Standard-Pyramide, rechts. Man kann relativ mehr Kugeln stapeln als bei der quadratisch gemusterten, links. Beide werden offensichtlich als raumverschwenderisch angesehen, auch und insbesondere die linke, die ebenfalls nicht vorkommt.

Abb.25  Eine aus hexagonalen Elementarzellen bestehende Kugelpyramide: "Stufenpyramide"
            (ABA-Folge hexagonaler Schichten)

11. Literatur   ↑ Anfang

[1]   Dostert, Krupp, Rolfes: Das Problem der Kugelpackung
       Schnappsch�sse moderner Mathematik aus Oberwolfach, N^o4, 2016.
[2]   Siegfried Wetzel: Kreis- und Kugel-F�rmiges
[3]   Karl Gerstner: Das Apollonische in der Kunst — Max Bill zum 80.
                       in: Die Liebe zur Geometrie. Acht Portr�ts. du, Oktober 1988
[4]   Universit�t Freiburg: Vorlesungen �ber Anorganische Chemie, Abb. 3.2.1. Strukturen der metallischen Elemente
[5]   Michael Schmidt: Chemie verstehen
       Die Elementarzellen und... — Die Elementarzelle — Die Elementarzelle der hexagonal dichtesten Kugelpackung — drittes Bild, links

Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, April 2020