Fouriertransformation - GeoLexikon

1) Allgemein: Fourieranalyse, eingeführt von dem französischen Mathematiker und Physiker J.B. Fourier (1768-1830), ermöglicht die Darstellung periodischer und aperiodischer Funktionen (Signale) mit Hilfe einer Integralfunktion mit dem komplexen Kern e^2πixt. Die Fouriertransformation ist eine Erweiterung der harmonischen Analyse durch den Übergang von einer Fourierreihe zu einem Integral zur Zerlegung der Funktionen in ihre spektralen Komponenten (Spektralanalyse). Aperiodische Funktionen lassen sich dabei als periodische mit unendlich langer
Grundperiode T auffassen.
Die Fouriertransformierte F erhält man nach:

wobei i die imaginäre Einheit (i² = -1) und x und t kontinuierliche Variable, z.B. Zeit und Frequenz, mit zueinander inverser Dimension sind. Die inverse Funktion

gestattet die Ableitung der Ausgangsfunktion (des Ausgangssignals) aus der Fouriertransformierten. Sie hat die Eigenschaften:

F^-1F{F(t)}= F(t) FF^-1{f(x)}= f(x).
Geht man von der Exponentialfunktion zur äquivalenten Darstellung mit trigonometrischen Funktionen
über, so lässt sich jede auf dem Intervall [-T,+T] periodische Funktion x als Überlagerung von Sinus-
und Cosinusschwingungen darstellen:

Die Amplituden a_k und b_k (Fourierkoeffizienten) erhält man aus:

und
mit der Kreisfrequenz ω= 2πn und der Frequenz n = 1/T.
Analog zur harmonischen Analyse gelten auch hier die Beziehungen für die Gesamtamplitude

und die Phasenverschiebung
tan(φ_k)= b_k/a_k. 2) In der Geophysik findet die Fouriertransformation eine breite Anwendung für die Transformation von Zeitfunktionen (Zeitebene) oder von Koordinaten (Ortsebene) in die Frequenzebene.
3) In der Klimatologie findet die Fouriertransformation bei der Zerlegung von exakt oder annähernd
periodischen Zeitfunktionen f(t+T) Anwendung, wobei T die Periode der Funktion, z.B. des mittleren
Jahrganges eines Klimaelementes ist. Die Variation in eine Reihe von Sinus- und Cosinusfunktionen, harmonische Analyse, ergibt bei deren Überlagerung exakt (im Fall einer streng periodischen Zeitfunktion) oder annähernd die ursprüngliche Zeitfunktion. Dabei werden im allgemeinen ganzzahlige Teile der Grundperiode T (bzw. ganzzahlige Vielfache der entsprechenden Frequenz f = 1/T verwendet.

Auch im Fall einer Zeitreihe f_i(t_i) anstelle einer Zeitfunktion f(t) ist diese Methode einsetzbar, man spricht dann von der genäherten oder verallgemeinerten Fouriertransformation. Insbesondere führt in diesem Fall die Fouriertransformation einer Autokorrelationsfunktion zum Varianzspektrum. Alternativ führt ein entsprechend vereinfachtes Verfahren zur sog. schnellen Fouriertransformation (engl. Fast Fourier-Transformation, FFT). 4) In der Kristallographie nutzt man die Fouriertransformation als Beziehung zwischen Funktionen im direkten und reziproken Raum v.a. zur Analyse von Beugungsphänomenen. 5) In der Photogrammetrie und Fernerkundung wird die Fouriertransformation zur Überführung der diskreten Intensitätswerte eines digitalen Bildes in eine Funktion der Ortsfrequenzen der Elementarwellen der Bildfunktion angewandt (Spektralanalyse). Die Anwendung der Fouriertransformation auf die diskreten Intensitätswerte eines digitalen Bildes mit n.n Pixeln erfordert die Transformation durch die Beziehung:

wobei x',y' die Bildkoordinaten im Ortsraum und u,v die Frequenzen der Bildfunktion im Frequenzraum sind. Als Ergebnis erhält man das Amplituden-Ortsfrequenzspektrum C_kl als Funktion der (normierten) Ortsfrequenzen U_k und U_l in Richtung der Bildkoordinatenachsen in der komplexen Zahlenebene. In einer zweidimensionalen Darstellung in der u_k -u_l-Ebene werden die Amplituden C_kl durch abgestufte Helligkeiten wiedergegeben (grosse Amplituden hell, kleine Amplituden dunkel). Die Bildverarbeitung im Frequenzraum vereinfacht Arbeitsgänge wie die Filterung, die im Ortsraum nur genähert und mit grösserem Aufwand ausgeführt werden können.