bs.wikipedia.org

Alternativni red - Wikipedia

S Wikipedije, slobodne enciklopedije

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, alternativni red je beskonačni red članova

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},}

gdje je an ≥ 0 (ili an ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi an konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|an+1|.

Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}},}

divergira, dok alternativni red

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}}

konvergira u prirodni logaritam od 2.

Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz {\displaystyle a_{n}} ponotono opadajući teži nuli, tada red

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}

konvergira.

Parcijalna suma

{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}}

može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. Ako {\displaystyle a_{n}} monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od {\displaystyle a_{n+1}}. Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz {\displaystyle a_{n}} monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je {\displaystyle m<n}, imamo

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|&=&\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\\ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}<a_{m+1}\end{array}}}


(niz koji monotono opada osigurava da je {\displaystyle a_{k}-a_{k+1}>0}; primijetite da se mora voditi računa da li je {\displaystyle n}parno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza)

Pošto je {\displaystyle a_{m+1}\rightarrow 0} kada je {\displaystyle m\rightarrow \infty }, niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od {\displaystyle n}, to također pokazuje da je

{\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|<a_{m+1}.}

Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.