bs.wikipedia.org

Matrica (matematika) - Wikipedia

S Wikipedije, slobodne enciklopedije

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili općenito, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao A_i,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše $A:=(a_{i,j})_{m\times n}$ kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva a_i,j za sve 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Matrice imaju oblik ^[1]

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

Za matricu koja ima m redova i n kolona, kaže se da je tipa $m\times n$ .

Za matricu koja je $m\times n$ tipa kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj redova jednak broju kolona tj $m=n$ , kažemo da je kvadratna matrica reda $n$ .

Elementi kvadratne matrice $n\times n$ (reda n) $a_{11},\ a_{22},...,a_{nn}$ čine glavnu dijagonalu matrice.

Matrica $m\times n$ se označava sa ${\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}_{n,n}$

Primjer

Matrica

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}$

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a_2,3 je 7.

Matrica

$R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}$

je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli je trouglasta matrica Može biti gornja trouglasta ako je $a_{ij}=0$ za $i>j$ i donja trouglasta ako je $a_{ij}=0$ za $i<j$

Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli zove se dijagonalna matrica. $a_{ij}=0$ za $i\neq j$

Vrsta matrice	matrica reda $n=3$
Dijagonalna matrica	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
donja trouglasta matrica	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
gornja trouglasta matrica	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki, naziva se skalarna matrica. $a_{11}=a_{22}=...=a_{nn}$

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obiljeležava se sa I tj $a_{11}=a_{22}=...a_{nn}=1$

Primjer

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ je jedinična matrica tipa $3\times 3$

Matrica $B$ je podmatrica ili submatrica matrice $A$ , ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice $A$ možemo dobiti matricu $B$ .

Neka je $A$ matrica tipa $m\times n$ komatrica matrice A je njena podmatrica koja nastaje uklanjanjem i-tog reda i j-te kolone matrice A i obilježavamo je sa $A_{i,j}$ .

Ako su date matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbir A + B je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Naprimjer:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Primjer

Neka je

$A={\begin{bmatrix}2&3&1\\-2&1&2\end{bmatrix}}\&\ B={\begin{bmatrix}1&2&0\\1&-3&4\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}3&5&1\\-1&-2&6\end{bmatrix}}=B+A$

Osobine

$A+B=B+A$ komutativnost
$(A+B)+C=A+(B+C)$ asocijativnost
$A+0=0+A=A$
$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ ^[2]

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Naprimjer:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Osobine

$m(nA)=(mn)A$
$(m+n)A=mA+nA$
$IA=AI=A$
$A0=0A=0$ ^[3]

Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dat formulom:

$\,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]$

za svaki par i i j.

Na primjer:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

Množenje matrica ima sljedeće osobine:

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su date matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.^[4]

Množenje matrica nije komutativno

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

$AA=A^{2}$

$AAA=A^{3}$

$\underbrace {AA\cdots A} _{n}=A^{n}$

Po definiciji je

$A^{0}=I$

Transponovana matrica matrice

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\&\cdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a{mn}\end{bmatrix}}_{mn}$

je matrica $A^{T}$ oblika $A^{T}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{m2}\\&\cdots &\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a{mn}\end{bmatrix}}_{nm}$ tj

$A\to A^{T}<=>a_{ij}\to a_{ji}$

Primjer

Ako je

${\begin{bmatrix}1&-1&3&2\\0&2&1&3\end{bmatrix}}$ onda je

$A^{T}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&2\\3&1\\2&3\\\end{bmatrix}}$

Kvadratna matrica $A$ je: simetrična tj $a^{T}=A$ , tj. $a_{ji}=a_{ij}$ za sve $i,\ j$ antisimetrična

$A^{T}=-A$ tj $a_{ji}=-a_{ij}$ za sve $i,\ j$ . Tada je i $a_{ii}=-a_{ii}=0$ za sve $i$

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
$(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$
( $A^{T})^{T}=A$
$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ ^[5]

Ako za matricu $A$ postoji matrica $A^{-1}$ takva da je $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ onda je $A^{-1}$ inverzna matrica

Inverzna matrica definiraana je samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi ako je $A$ ranga n onda je i $A^{-1}$ ranga n Ako kvadratna matrica ima inverznu, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna.

Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena. Odnosno Ako su $B$ i $C$ inverzne matrice od $A$ onda je

$B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}A^{-1}$
$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

Matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im međusobno jednaki.

$A=B<=>{\begin{Bmatrix}a_{ij}=b_{ij}\ za\ i=1,2,3,...m\\j=1,2,3,...n\end{Bmatrix}}$

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rⁿ kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : Rⁿ → R^m postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rⁿ. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : R^m → R^k, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje R^m → Rⁿ, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica A^tr (nekad se zapisuje i kao A^T ili ^tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest A^tr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica A^tr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (Vidi: Dualni prostor).

Vrijedi (A + B)^tr = A^tr + B^tr i (AB)^tr = B^tr A^tr.

^ matrica
^ Matrix
^ "[[Množenje|množenja]] skalara s matricom". Arhivirano s originala, 27. 6. 2014. Pristupljeno 8. 5. 2016.
^ "Množenje matrica nije komutativno". Arhivirano s originala, 27. 6. 2014. Pristupljeno 8. 5. 2016.
^ "Transponovana matrica" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 18. 11. 2017. Pristupljeno 8. 5. 2016.