bs.wikipedia.org

Množenje - Wikipedia

S Wikipedije, slobodne enciklopedije

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

  • 3x4=12

    3x4=12

Množenje je jedna od četiri osnovne računske operacije u aritmetici. Množenje prirodnih brojeva predstavlja njihovo ponovljeno sabiranje.

{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {b+b+\cdots +b} \\{a}\\[-4ex]\end{matrix}}=\sum _{i=1}^{a}b=a\cdot b}

{\displaystyle a} i {\displaystyle b} se nazivaju faktori. Rezultat, „a puta b“, se naziva proizvod.

Pri množenju više brojeva se koristi slovo Π iz grčkog alfabeta :

{\displaystyle 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=\prod _{i=1}^{5}(2i+1)=10\ 395}

ili

{\displaystyle {\frac {3}{1}}\cdot {\frac {4}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot \;\dots \;\cdot {\frac {n+2}{n}}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {i+2}{i}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}

Postoji i specijalni slučaj množenja prirodnih brojeva - faktorijel

{\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i=n!}
Primjeri

{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24}

{\displaystyle \prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}

Odnosno imamo da je

{\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}}

Ponovljeno množenje istih faktora zamjenjujemo potenciranjem

{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{6}=64}
malo
malo

Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „tri puta četiri“.

Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju varijabli možemo pisati npr. (5x, xy).

Suprotna operacija je dijeljenje.

U skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj.

{\displaystyle \forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1}

Inverzan broj broja {\displaystyle a} je {\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}. Inverzan broj inverznog broja {\displaystyle a} je broj {\displaystyle a}

{\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a}

Ako su u skupu cijelih brojeva faktori istog znaka proizvod je pozitivan, a ako su različitih predznaka onda je negativan.

{\displaystyle (-1)*a=a*(-1)=-a}

{\displaystyle (-1)(-1)=1}

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca faktora, a imenilac proizvod imenilaca faktora

{\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}}

Neka je {\displaystyle b\in R\smallsetminus Q} iracionalan broj, tada je proizvod {\displaystyle ab} granična vrednost

{\displaystyle a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}}

gdje je {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja {\displaystyle b}. kompleksan broj

Kompleksan broj {\displaystyle z} možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom obliku:

Zbog {\displaystyle i^{2}=-1} je

{\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}.

{\displaystyle \rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))}

  • {\displaystyle k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})}

(Vektor množimo skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna)

  • {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}

(Skalarni proizvod vektora je skalar jednak zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata)

  • {\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}} gdje su {\displaystyle \mathbf {i} }, {\displaystyle \mathbf {j} } i {\displaystyle \mathbf {k} }jedinični vektori duž x, y i z ose

(Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-faktori zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-faktori definišu, a smjer se definiše pravilom lijeve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice.)

  • {\displaystyle []:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }

{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}

{\displaystyle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}} (Mješoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao {\displaystyle [a,b,c]} )

Neka su date matrice A i B veličine mA×nA i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je nA = mB, a dobijena matrica ima dimenzije mA×nB. Elementi matrice-proizvoda su

{\displaystyle (AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}}

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator

{\displaystyle [A,B]=A\times B-B\times A}

Multiplication