ca.wikipedia.org

Nombres de Bernoulli - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

  • ️Mon Jul 28 2014

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

(S'ha redirigit des de: Nombre de Bernoulli)

n {\displaystyle B_{n}}
0 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}
2 {\displaystyle {\frac {1}{6}}}
3 0
4 {\displaystyle -{\frac {1}{30}}}
5 0
6 {\displaystyle {\frac {1}{42}}}
7 0
8 {\displaystyle -{\frac {1}{30}}}
9 0
10 {\displaystyle {\frac {5}{66}}}
11 0
12 {\displaystyle -{\frac {691}{2730}}}
13 0
14 {\displaystyle {\frac {7}{6}}}
15 0
16 {\displaystyle -{\frac {3617}{510}}}
17 0
18 {\displaystyle {\frac {43867}{798}}}
19 0
20 {\displaystyle -{\frac {174611}{330}}}

En matemàtiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per {\displaystyle B_{n}} (o bé {\displaystyle b_{n}} per diferenciar-los dels nombres de Bell), són una seqüència de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta.

Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansió en sèrie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperbòlica, en les fórmules per la suma de potències dels primers nombres naturals, a la fórmula d'Euler–Maclaurin i a l'expressió de certs valors de la funció zeta de Riemann.

Com que {\displaystyle B_{1}=\pm {\frac {1}{2}}}, se li dona el nom de segon nombre de Bernoulli. Com que {\displaystyle B_{n}=0} per a tot senar {\displaystyle n>1}, molts autors denoten aquesta sèrie amb {\displaystyle B_{2n}}.

Els nombres de Bernoulli van ser descoberts independentment i en la mateixa època pels matemàtics Jakob Bernoulli (suís), del qui prenen el nom, i Takakazu Seki (japonès). El descobriment de Seki va ser publicat de forma pòstuma el 1712 en la seva obra Katsuyo Sampo.[1] El descobriment de Bernoulli, també publicat pòstumament el 1713, en la seva obra Ars Conjecturandi.[2] El descobriment de Bernoulli és una generalització de la fórmula de Faulhaber (1631) per a la suma de les primeres 17 potències dels nombres naturals:[3]

{\displaystyle N=\displaystyle \sum \limits _{i=0}^{n}i^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+...+n^{p}}

i el 1755, Euler va demostrar les fórmules de Bernoulli, donant el nom de nombres de Bernoulli als coeficients obtinguts.[4]

  1. ↑ Shigeru, pàgina 431.
  2. ↑ Styan i Trenkler, pàgina 2.
  3. ↑ Knuth, pàgines 277-278.
  4. ↑ Edwards, pàgina 24.