cs.wikipedia.org

Kvantový harmonický oscilátor – Wikipedie

  • ️Fri Dec 17 2010

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lineární harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii {\displaystyle V(x)}, která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál {\displaystyle V(x)} zapíšeme jako

{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,,}

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,.}

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)}

Vynásobíme-li celou rovnici {\displaystyle {\frac {2}{\hbar \omega }}} , získáme

{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}\right)\Psi (x)={\frac {2E}{\hbar \omega }}\Psi (x)}

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

{\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\,,}
{\displaystyle \lambda ={\frac {2E}{\hbar \omega }}\,,}

rovnice přejde ve tvar

{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\right)\Psi (\xi )=-\lambda \Psi (\xi )\,.}

Po úpravě dostaneme

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}+(\lambda -\xi ^{2})\Psi (\xi )=0\,.}

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci {\displaystyle \Psi } budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce {\displaystyle \Psi } v asymptotické oblasti {\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}. Pro hodnoty {\displaystyle \xi \to \pm \infty } lze {\displaystyle \lambda } v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\Psi (\xi )=0\,.}

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde {\displaystyle A} a {\displaystyle B} jsou libovolné konstanty.

{\displaystyle \Psi (\xi )=A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}})+B\exp({\frac {\xi ^{2}}{2}}).}

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce {\displaystyle \Psi } diverguje pro {\displaystyle (\xi \to \pm \infty )} a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

{\displaystyle \Psi (\xi )\approx A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}}).}

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty {\displaystyle \xi }, znamená předpokládat, že {\displaystyle A} na {\displaystyle \xi } závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

{\displaystyle \Psi (\xi )=A(\xi )\exp(-{\frac {\xi ^{2}}{2}})\,,}

kde {\displaystyle A(\xi )} je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu {\displaystyle \exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)} dosazením předešlé rovnice pro {\displaystyle \Psi } získáme novou rovnici pro neznámou funkci {\displaystyle A(\xi )}

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial \xi ^{2}}}-2\xi {\frac {\partial A}{\partial \xi }}+(\lambda -1)A=0\,.}

Funkci {\displaystyle A(\xi )} budeme hledat ve tvaru mocninné řady

{\displaystyle A(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}\,.}

Neznámé koeficienty {\displaystyle a_{k}} pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro {\displaystyle A} do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami {\displaystyle \xi ^{k}}. Po jistém úsilí získáme

{\displaystyle a_{k}={\frac {(1-\lambda )(5-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{0}\,,} pro k = 2, 4, 6, …
{\displaystyle a_{k}={\frac {(3-\lambda )(7-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{1}\,,} pro k = 3, 5, 7, …

Protože {\displaystyle A} je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách {\displaystyle a_{0}} a {\displaystyle a_{1}}. Ukazuje se však, že nekonečná řada {\displaystyle A(\Psi )} se pro velká {\displaystyle \lambda } chová jako funkce {\displaystyle \exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)} , což znamená, že vlnová funkce {\displaystyle \Psi (\xi )=A(\xi )\exp(-{\frac {\xi ^{2}}{2}})} pro {\displaystyle (\xi \to \pm \infty )} diverguje. Funkce {\displaystyle A(\xi )} proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce {\displaystyle A(\xi )} tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým {\displaystyle k} platí {\displaystyle a_{k+2}=0} a pro dosud libovolné {\displaystyle \lambda } musí splňovat podmínku

{\displaystyle \lambda =2n+1\,,} pro n=0,1,2,...

S ohledem na předešlý vztah a rovnici {\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x} dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru[1] [2]

{\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar \omega \lambda }{2}}=\hbar \omega {\frac {2n+1}{2}}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}
  • Ze vztahu {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}je patrné, že energie kvantového oscilátoru je kvantována, a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
  • Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
  • Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v případě lineárního harmonického oscilátoru v klasické mechanice stát nemůže.
  • Rozdíl nastává i u možnosti určení kinetické a potenciální energie. U klasického oscilátoru je můžeme určit současně. V kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie nekomutují a nelze je tedy určit současně.
  • Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
  • Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde {\displaystyle E<V(x)}. Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.
  1. ↑ SKÁLA, Lubomír. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-1316-4.
  2. ↑ Lineární harmonický oscilátor - podrobné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice [online]. http://artemis.osu.cz [cit. 2010-12-17]. Dostupné online.