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Überlagerung (Topologie) – Wikipedia

Die Überlagerung eines topologischen Raums $X$ ist eine stetige Abbildung $\pi \colon E\rightarrow X$ mit speziellen Eigenschaften.

Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von $X$ ist eine stetige surjektive Abbildung

$\pi \colon E\rightarrow X$ ,

sodass es einen diskreten Raum $D$ gibt und für jedes $x\in X$ eine offene Umgebung $U\subset X$ gibt, sodass

$\pi ^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D}V_{d}$

und die Abbildung $\pi |_{V_{d}}\colon V_{d}\rightarrow U$ für jedes $d\in D$ ein Homöomorphismus ist.

Oft wird der Begriff der Überlagerung auch für den Überlagerungsraum $E$ benutzt. Die offenen Mengen $V_{d}$ werden Blätter genannt und sind, vorausgesetzt die offene Umgebung $U$ ist zusammenhängend, eindeutig durch $U$ bestimmt.^[1] $^{S.56}$ Für ein $x\in U$ heißt die diskrete Teilmenge $\pi ^{-1}(x)$ die Faser von $x$ . Der Grad der Überlagerung ist die Kardinalität des Raumes $D$ . Im Falle eines endlichen Grades spricht man von einer endlichen Überlagerung. Ist $E$ wegzusammenhängend, so wird $\pi$ als wegzusammenhängende Überlagerung bezeichnet.

{\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} } — Der Raum $Y=[0,1]\times \mathbb {R}$ ist eine Überlagerung von $X=[0,1]\times S^{1}$ , die paarweise disjunkten Mengen $S_{i}$ werden homöomorph auf $U$ abgebildet. Die Faser des Punktes $x$ besteht aus den Punkten $y_{i}$ .

Da eine Überlagerung $\pi \colon E\rightarrow X$ die paarweise disjunkten, offenen Mengen von $\pi ^{-1}(U)$ jeweils homöomorph auf die offene Menge $U$ abbildet, ist sie ein lokaler Homöomorphismus, i.e. $\pi$ ist eine stetige Abbildung, sodass für jedes $e\in E$ eine offene Umgebung $V\subset E$ existiert, sodass $\pi |_{V}\colon V\rightarrow \pi (V)$ ein Homöomorphismus ist. Daraus folgt, dass der Überlagerungsraum und der Ausgangsraum lokal die gleichen Eigenschaften haben:

Ist $X$ eine zusammenhängende und nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine zusammenhängende Überlagerung $\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ , wobei ${\tilde {X}}$ eine zusammenhängende und orientierbare Mannigfaltigkeit ist.^[1] $^{S.234}$
Ist $X$ eine zusammenhängende Lie-Gruppe, so gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus $\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ , mit ${\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ ist ein Weg in X mit }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}$ , der gleichzeitig eine Überlagerung ist.^[2] $^{S.174}$
Ist $X$ ein Graph, dann gilt für eine Überlagerung $\pi :E\rightarrow X$ , dass $E$ auch ein Graph ist.^[1] $^{S.85}$
Ist $X$ eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine Überlagerung $\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ , wobei ${\tilde {X}}$ eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist.^[3] $^{S.32}$
Ist $X$ eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, dann gibt es eine holomorphe Abbildung^[3] $^{S.22}$ $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$ , welche gleichzeitig eine Überlagerung ist und ${\tilde {X}}$ ist eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Riemannsche Fläche.^[3] $^{S.32}$

Seien $X$ und $X'$ topologische Räume und $p\colon E\rightarrow X$ und $p'\colon E'\rightarrow X'$ Überlagerungen, dann ist $p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'$ mit $(p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))$ eine Überlagerung von $X\times X'$ .^[4] $^{S.339}$

Seien $p,q$ und $r$ stetige Abbildung, sodass das Diagram

kommutiert.

Sei $X$ ein topologischer Raum und $p\colon E\rightarrow X$ und $p'\colon E'\rightarrow X$ Überlagerungen. Die Überlagerungen sind zueinander äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus $h\colon E\rightarrow E'$ gibt, sodass das Diagramm

kommutiert. Solch ein Homöomorphismus wird auch als ein Isomorphismus zwischen Überlagerungsräumen bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft der Überlagerung ist, dass sie die Hochhebungseigenschaft erfüllt:

Sei $I$ das Einheitsintervall $[0,1]$ und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei $F\colon Y\times I\rightarrow X$ eine stetige Abbildung und ${\tilde {F}}\colon Y\times \{0\}\rightarrow E$ ein Lift von $F|_{Y\times \{0\}}$ , i.e. eine stetige Abbildung, sodass $p\circ {\tilde {F}}=F|_{Y\times \{0\}}$ , dann gibt es eine eindeutig definierte, stetige Abbildung ${\tilde {F}}\colon Y\times I\rightarrow E$ , welche $F$ hochhebt (liftet), i. e. $p\circ {\tilde {F}}=F$ .^[1] $^{S.60}$

Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum, so ist für $Y=\{0\}$ die Abbildung ${\tilde {F}}$ die Hochhebung eines Weges in $X$ und für $Y=I$ die Hochhebung einer Homotopie von Wegen in $X$ .

Mithilfe der Hochhebungseigenschaft lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(S^{1})$ des Einheitskreises eine unendliche, zyklische Gruppe ist, welche von der Homotopieklasse der Schleife $\gamma \colon I\rightarrow S^{1}$ mit $\gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ erzeugt wird.^[1] $^{S.29}$

Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung, so gilt für je zwei Punkte $x,y\in X$ , die durch einen Weg $\gamma$ verbunden sind, dass man durch die Hochhebung ${\tilde {\gamma }}$ von $\gamma$ eine bijektive Abbildung

$L_{\gamma }\colon p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)$ , $\quad L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)$

zwischen den Fasern von $x$ und $y$ erhält.^[1] $^{S.69}$

Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung, dann ist der durch $p$ induzierte Gruppenhomomorphismus

$p_{\#}\colon \pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)$ mit $p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]$

injektiv. Die Elemente der Untergruppe $p_{\#}(\pi _{1}(E))$ sind die Homotopieklassen der geschlossenen Wegen in $X$ , deren Hochhebung geschlossene Wege in $E$ sind.^[1] $^{S.61}$

Seien $X$ und $Y$ Riemannsche Flächen, i.e. ein-dimensionale, komplexe Mannigfaltigkeiten und $f\colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Die Abbildung $f$ ist holomorph in einem Punkt $x\in X$ , wenn für jede Karte $\phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}$ von $x$ und $\phi _{f(x)}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ von $f(x)$ , mit $\phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}$ , die Abbildung $\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ holomorph ist.

$f$ ist holomorph, wenn $f$ auf ganz $X$ holomorph ist.

Die Funktion $F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}$ heißt die lokale Darstellung von $f$ in $x\in X$ .

Ist $f\colon X\rightarrow Y$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, dann ist $f$ surjektiv^[3] $^{S.11}$ und eine offene Abbildung^[3] $^{S.11}$ , d. h. für jede offene Menge $U\subset X$ ist das Bild $f(U)$ ebenfalls offen.

Sei $f\colon X\rightarrow Y$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Für jedes $x\in X$ gibt es Karten für $x$ und $f(x)$ und es existiert ein $k_{x}\in \mathbb {N_{>0}}$ , sodass die lokale Darstellung von $f$ in $x$ von der Form $z\mapsto z^{k_{x}}$ ist.^[3] $^{S.10}$ Dieses $k_{x}\in \mathbb {N}$ wird als Verzweigungsindex von $f$ in $x$ bezeichnet. Ein Punkt $y=f(x)\in Y$ heißt Verzweigungspunkt von $f$ , wenn $k_{x}\geq 2$ .

Der Grad $deg(f)$ einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes $y\in Y$ , i. e. $deg(f):=|f^{-1}(y)|$ .

Diese Zahl ist endlich, da für jedes $y\in Y$ die Faser $f^{-1}(y)$ diskret ist^[3] $^{S.20}$ und sie ist wohldefiniert, da für je zwei $y_{1},y_{2}\in Y$ , welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt: $|f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|$ .^[3] $^{S.29}$

Für $deg(f)=d$ gilt:

$\sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=d$ ^[3] $^{S.29}$

Eine stetige Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ wird verzweigte Überlagerung genannt, wenn es eine abgeschlossene Menge $E\subset Y$ mit dichtem Komplement gibt, sodass $f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}\colon X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E$ eine Überlagerung ist.

Sei $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ eine einfach-zusammenhängende Überlagerung und $\beta \colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, dann existiert eine eindeutig definierte Überlagerung $\alpha \colon {\tilde {X}}\rightarrow E$ , sodass das Diagramm

kommutiert.^[4] $^{S.486}$

Sei $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ eine einfach-zusammenhängende Überlagerung. Ist $\beta \colon E\rightarrow X$ eine weitere einfach-zusammenhängende Überlagerung von $X$ , dann existiert ein eindeutig definierter Homöomorphismus $\alpha \colon {\tilde {X}}\rightarrow E$ , der das Diagramm

kommutieren lässt.^[4] $^{S.482}$ Damit ist $p$ bis auf Isomorphismen zwischen Überlagerungsräumen eindeutig bestimmt und wird aufgrund dieser universellen Eigenschaft die universelle Überlagerung von $X$ genannt.

Die folgenden Kriterien garantieren die Existenz der universellen Überlagerung, da diese nicht für alle topologischen Räume existiert:

Sei $X$ zusammenhängend und lokal einfach-zusammenhängend, dann gibt es eine universelle Überlagerung $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ .

${\tilde {X}}$ ist definiert als ${\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ ist ein Weg in }}X{\text{ mit }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}$ und $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ als $p([\gamma ])=\gamma (1)$ .^[1] $^{S.64}$

Die Topologie auf ${\tilde {X}}$ erhält man wie folgt: Für ein Weg $\gamma \colon I\rightarrow X$ mit $\gamma (0)=x_{0}$ besitzt der Endpunkt $x$ eine einfach-zusammenhängende Umgebung $U$ , in der für jedes $y\in U$ die Wege $\sigma _{y}$ in $U$ von $x$ nach $y$ bis auf Homotopie eindeutig definiert sind. Setzt man ${\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}$ , so ist $p_{|{\tilde {U}}}\colon {\tilde {U}}\rightarrow U$ mit $p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y$ eine Bijektion und ${\tilde {U}}$ kann mit der Finaltopologie von $p_{|{\tilde {U}}}$ versehen werden.

Die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma$ operiert durch $([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]$ frei auf ${\tilde {X}}$ und $\psi \colon \Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X\colon \Gamma {\tilde {x}}\mapsto {\tilde {x}}(1)$ ist ein Homöomorphismus, i. e. $\Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X.$

$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}$ . Hierbei handelt es sich um eine abzählbare Vereinigung von Kreisen $C_{n}$ mit Radius $\displaystyle {\frac {1}{n}}$ , welche alle durch den Ursprung gehen. Es lässt sich zeigen, dass keine Umgebung des Ursprungs einfach-zusammenhängend ist.^[4] $^{S.487}$

Sei $X$ ein topologischer Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein Homöomorphismus $d\colon E\rightarrow E$ , sodass das Diagramm

kommutiert. Die Menge der Decktransformation bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe $Deck(p)$ , welche gleich der Automorphismengruppe $Aut(p)$ ist.

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Da eine Decktransformation $d\colon E\rightarrow E$ bijektiv ist, wird jedes Element einer Faser $p^{-1}(x)$ permutiert und die Abbildung ist dadurch eindeutig definiert, wie sie einen einzelnen Punkt aus der Faser abbildet. Insbesondere fixiert nur die triviale Decktransformation, i.e. $id_{E}$ , einen Punkt in der Faser.^[1] $^{S.70}$ Damit definiert die Gruppe der Decktransformationen eine Gruppenoperation auf jeder Faser, u.z. für eine offene Umgebung $U\subset X$ eines $x\in X$ und eine offene Umgebung ${\tilde {U}}\subset E$ eines $e\in p^{-1}(x)$ gilt: $Deck(p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})$ ist eine Gruppenoperation.

Eine Überlagerung $p\colon E\rightarrow X$ heißt normal, wenn $Deck(p)\backslash E\cong X$ . Das bedeutet, dass es für jedes $x\in X$ und für je zwei $e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)$ eine Decktransformation $d\colon E\rightarrow E$ gibt, sodass $d(e_{0})=e_{1}$ . Diese Überlagerungen werden auch regulär genannt.

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ eine Untergruppe von $\pi _{1}(X)$ , dann ist die Überlagerung $p$ genau dann normal, wenn $H$ eine normale Untergruppe von $\pi _{1}(X)$ ist.^[1] $^{S.71}$

Sei $p\colon E\rightarrow X$ eine normale Überlagerung und $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ , dann ist $Deck(p)\cong \pi _{1}(X)/H$ .^[1] $^{S.71}$

Sei $p\colon E\rightarrow X$ eine wegzusammenhängende Überlagerung und $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ , dann ist $Deck(p)$ $\cong$ $N(H)/H$ , wobei $N(H)$ der Normalisator von $H$ ist.^[1] $^{S.71}$

Sei $E$ ein topologischer Raum. Eine Gruppe $\Gamma$ operiert diskontinuierlich auf $E$ , wenn für jedes $e\in E$ und jede offene Umgebung $V\subset E$ von $e$ mit $V\neq \emptyset$ gilt, dass für jedes $\gamma \in \Gamma$ mit $\gamma V\cap V\neq \emptyset$ folgt, dass $\gamma =1$ .

Operiert nun eine Gruppe $\Gamma$ diskontinuierlich auf einem topologischen Raum $E$ , so ist die Quotientenabbildung $q\colon E\rightarrow \Gamma \backslash E$ mit $q(e)=\Gamma e$ eine normale Überlagerung.^[1] $^{S.72}$ Dabei ist $\Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}$ der Quotientenraum und $\Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}$ die Bahn der Gruppenoperation.

Sei $\Gamma$ eine Gruppe, die diskontinuierlich auf einem topologischen Raum $E$ operiert und $q\colon E\rightarrow \Gamma \backslash E$ die normale Überlagerung.

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es für jede Untergruppe $H\subseteq \pi _{1}(X)$ eine wegzusammenhängende Überlagerung $\alpha \colon X_{H}\rightarrow X$ mit $\alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H$ .^[1] $^{S.66}$ Zwei solche wegzusammenhängenden Überlagerungen $p_{1}\colon E\rightarrow X$ und $p_{2}\colon E'\rightarrow X$ sind genau dann äquivalent, wenn die Untergruppen $H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))$ und $H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))$ von $\pi _{1}(X)$ konjugiert zueinander sind.^[4] $^{S.482}$

Ähnlich wie beim Hauptsatz der Galoistheorie gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u. z.:

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es, bis auf Äquivalenz von Überlagerungen, die Bijektion:

${\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Untergruppen von }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{wegzusammenhaengende Überlagerung }}p\colon E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normale Untergruppen von }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normale Überlagerung }}p\colon E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\end{matrix}}$

Für eine aufsteigende Sequenz $\displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)$ von Untergruppen, ist die Sequenz ${\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}$

eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe $H\subset \pi _{1}(X)$ vom Index $\displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d$ ist die Überlagerung $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ eine $d$ -fache Überlagerung.

Sei $X$ ein topologischer Raum. Die Objekte der Kategorie ${\boldsymbol {Cov(X)}}$ sind Überlagerungen $p\colon E\rightarrow X$ und die Morphismen sind stetige Abbildungen $f\colon E\rightarrow F$ , die das Diagramm

kommutieren lassen, wobei $p\colon E\rightarrow X$ und $q\colon F\rightarrow X$ Überlagerungen sind.

Sei $G$ eine topologische Gruppe. Die Kategorie ${\boldsymbol {G-Menge}}$ ist die Kategorie der Mengen welche G-Räume sind, i.e. die Objekte der Kategorie sind G-Räume. Die Morphismen der Kategorie sind G-Abbildung $\phi \colon X\rightarrow Y$ zwischen G-Räumen. Diese erfüllen, für jedes $g\in G$ , die Bedingung $\phi (gx)=g\,\phi (x)$ .

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, $x\in X$ und $G=\pi _{1}(X,x)$ die Fundamentalgruppe von $X$ . $G$ definiert durch die Hochhebung von Wegen und der Auswertung der Hochhebung am Endpunkt eine Gruppenoperation auf der Faser von Überlagerungen. Damit erhält man einen Funktor $F\colon Cov(X)\longrightarrow G-Menge:p\mapsto p^{-1}(x)$ , der eine Äquivalenz von Kategorien ist.^[1] $^{S.68-70}$

Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X
Otto Forster: Lectures on Riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9
Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7
Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999

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