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Achteck – Wikipedia

Ein Achteck (auch Oktogon oder Oktagon, von lat. octogonum, octagonum, octagonon, von griech. ὀκτάγωνον oktágōnon) ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit acht Ecken und acht Seiten. Achtecke lassen sich, wie alle Polygone, die keine Dreiecke sind, in konvexe, konkave und überschlagene Achtecke einteilen. In Variationen wird dies näher beschrieben und im Anschluss daran das regelmäßige Achteck ausführlich dargestellt.

Bild 2
**Oben:** konkaves Achteck
**Unten:** überschlagenes Achteck

Das Achteck ist darstellbar als:

konvexes Achteck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Achteck kann regelmäßig (Einleitungsbild) oder unregelmäßig (Bild 1) sein.

Das regelmäßige Achteck ist bestimmt durch acht Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.

konkaves Achteck (Bild 2), in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist.
überschlagenes Achteck (Bild 2): Ein überschlagenes Achteck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.

Es gibt nur einen regelmäßigen Achtstrahlstern, auch Achterstern oder Oktogramm genannt.

Die „Sterne“ mit den Symbolen {8/2} und {8/6} sind Quadrate. Legt man diese zwei Quadrate mit ihren Achs- und Diagonallinien übereinander und dreht sie anschließend relativ zueinander um 45°, siehe die weißen Dreiecke im Stern, ergibt sich ein Achtort.

Sehnenachteck (Bild 4), in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.

Ein besonderes Sehnenachteck ist das sog. Putnam-Achteck, das 1978 in der William Lowell Putnam Competition, einem bedeutenden Mathematikwettbewerb in den USA, als Aufgabe präsentiert wurde.^[1] Es besitzt vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 3 und weitere vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 2 (Bild 5). Seine Flächenmaßzahl beträgt nach Umordnung der Teildreiecke und Anwendung des Satzes des Pythagoras (Bild 6)

$(2\cdot {\sqrt {2}}+3)^{2}-4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {2}}\right)^{2}=12\cdot {\sqrt {2}}+13$ .^[2]

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Achteck
Zentriwinkel	$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }$
Innenwinkel	$\delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }$
Inkreisradius	$r_{i}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}207\cdot a$
Umkreisradius	$r_{u}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}307\cdot a$
Radiusverhältnis	${\frac {r_{i}}{r_{u}}}={\sqrt {\frac {3+2{\sqrt {2}}}{4+2{\sqrt {2}}}}}\approx 0{,}92388$
Länge der Diagonalen	$d_{1}=2\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 2{,}613\cdot a$
$d_{2}=2\cdot r_{\mathrm {i} }=(1+{\sqrt {2}})\cdot a\approx 2{,}414\cdot a$
$d_{3}={\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}848\cdot a$
Flächeninhalt	$A=(2+2\cdot {\sqrt {2}})\cdot a^{2}\approx 4{,}828\cdot a^{2}$
$A=2\cdot {\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\approx 2{,}828\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}$

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der von deren Schenkeln eingeschlossene Winkel beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden Basiswinkel des Dreieckes betragen je 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

Gegeben sei der Radius $r_{\mathrm {i} }$ des Inkreises:
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22,5° ermitteln:

$a'=r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ }$

Den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

$A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {(r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ })\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}$

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

$A=2\cdot 8\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }$

Gegeben sei die Seitenlänge $a$ des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius $r_{\mathrm {i} }$ des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22,5° ermitteln, $a'$ sei die Hälfte von $a$ :

$r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}$

Die Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

$A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}$

Setzt man $A'$ in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

$A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot {\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {8\cdot a'^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {2\cdot a^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}$

Gegeben sei der Radius $r_{\mathrm {u} }$ des Umkreises:
Das Verhältnis $a'$ zu $r_{\mathrm {u} }$ entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

$a'=r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }$

Der Radius $r_{\mathrm {i} }$ des Inkreises beträgt

$r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }}{\tan 22{,}5^{\circ }}}=r_{\mathrm {u} }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }$

Die Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

$A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}$

Setzt man $A'$ in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

$A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }$

bzw. mit den Additionstheoremen für die Winkelfunktionen

$A=4\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 45^{\circ }$

Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebenem Umkreis

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten $M_{\mathrm {S} }$ konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis, mit den Ecken des Quadrats verbindet.

Eine Alternative zeigt die nebenstehende Animation.

Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebener Seitenlänge, siehe Animation.

Die Konstruktion ist nahezu gleich der des regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlänge $a$ mit $A$ und $B$ bezeichnet. Beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks. Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius $a$ um den Punkt $B$ und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt $A$ , dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte $I$ und $J$ . Es geht weiter mit der Halbgeraden ab $I$ durch $J$ und dem Zeichnen einer Parallelen zu ${\overline {IJ}}$ ab dem Punkt $B$ , die den Kreisbogen um $B$ in $K$ schneidet. Nun wird der Punkt $K$ mit $A$ verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt $L$ . Anschließend wird die Halbgerade ab $B$ durch $L$ gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab $I$ in $M$ . Somit ist der Mittelpunkt $M$ des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab $A$ durch $M$ führt zum Zentriwinkel $45^{\circ }$ . Nach dem Einzeichnen des Umkreises um $M$ und durch $A$ ergeben sich die Ecken $C,E,F$ und $H$ des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen $a$ auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken $D$ und $G$ , und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

Der Mittelpunktswinkel $\mu$ mit der Winkelweite $45^{\circ }$ ergibt sich aus den ähnlichen Dreiecken $\Delta BLA\sim \Delta ABM:$

$\mu =\angle {BAL}=\angle {AMB}=45^{\circ }.$

Eine bestimmte archimedische Parkettierung enthält regelmäßige Achtecke und Quadrate. Diese Parkettierung ist periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthält ausschließlich regelmäßige Polygone.

Archimedische Parkettierung mit regelmäßigen Achtecken und Quadraten

Einige Polyeder haben regelmäßige Achtecke als Seitenflächen, zum Beispiel der Hexaederstumpf und das Große Rhombenkuboktaeder. Die genannten Polyeder sind archimedische Körper.

Hexaederstumpf

Gartentisch

Silberner Schnitt

Wiktionary: Achteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

↑ Putnam Octagon Problem abgerufen am 8. August 2023
↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 160: Die Fläche eines Putnam-Achtecks (Problem B1, 39. William Lowell Putnam-Mathematik-Wettbewerb 1978)