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Beschränkter Operator – Wikipedia

In der Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen als beschränkte (lineare) Operatoren bezeichnet, wenn ihre Operatornorm endlich ist. Lineare Operatoren sind genau dann beschränkt, wenn sie stetig sind, weshalb beschränkte lineare Operatoren oft als stetige (lineare) Operatoren bezeichnet werden.

Seien $X$ und $Y$ normierte Vektorräume. Ein linearer Operator ist eine lineare Abbildung $T\colon X\to Y$ .

Ein beschränkter Operator $T\colon X\to Y$ ist ein linearer Operator, für den es ein $M$ mit $\Vert Tx\Vert \leq M\Vert x\Vert$ für alle $x\in X$ gibt.

Die kleinste Konstante $M$ mit $\Vert Tx\Vert \leq M\Vert x\Vert$ für alle $x\in X$ wird als Norm $\Vert T\Vert$ von $T$ bezeichnet. Für sie gilt

$\Vert T\Vert =\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert Tx\Vert$

und für alle $x\in X$ die Ungleichung

$\Vert Tx\Vert \leq \Vert T\Vert \Vert x\Vert$ .

Ein linearer Operator ist genau dann beschränkt, wenn er stetig ist, also eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

$\Vert x-x_{0}\Vert <\delta \Rightarrow \Vert Tx-Tx_{0}\Vert <\epsilon$ ,

Urbilder offener Mengen sind offen.

Beschränkte lineare Operatoren werden deshalb oft als stetige lineare Operatoren bezeichnet. Wenn die Linearität vorausgesetzt wird, spricht man häufig auch nur von stetigen Operatoren oder beschränkten Operatoren. Ist der Bildraum der Skalarenkörper, sagt man Funktional statt Operator.

Weiterhin sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Seien $X,Y$ normierte Vektorräume. Dann ist

$L(X,Y)=\left\{T\colon X\to Y\mid T{\mbox{ ist linear und stetig}}\right\}$

mit der Operatornorm $\Vert \cdot \Vert$ ein normierter Vektorraum.

Wenn $Y$ vollständig ist, dann ist auch $L(X,Y)$ vollständig.

Wenn $D\subset X$ ein dichter Unterraum und $Y$ vollständig ist, dann hat jeder stetige Operator $T\in L(D,Y)$ eine eindeutige stetige Fortsetzung ${\widehat {T}}\in L(X,Y)$ mit $\left\Vert {\widehat {T}}\right\Vert =\Vert T\Vert$ .

Analog zu obiger Definition nennt man einen linearen Operator $T\colon X\to Y$ zwischen topologischen Vektorräumen $X$ und $Y$ beschränkt, falls das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.^[1]

Falls $X$ und $Y$ zusätzlich lokalkonvexe Vektorräume sind, so ist der beschränkte Operator $T\colon X\to Y$ stetig, genau dann, wenn $X$ ein bornologischer Raum ist.

Teilweise werden in der deutschen Literatur nicht lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen auch als (nicht lineare) Operatoren bezeichnet.^[2]

Sind also $V$ und $W$ topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung $T\colon V\to W$ beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. Teubner, Wiesbaden 1975, ISBN 3-519-02206-0 (4. durchgesehene Auflage. ebenda 2006, ISBN 3-8351-0026-2).
Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2011, ISBN 978-3-642-21016-7.

↑ Norbert Adasch, Bruno Ernst, Dieter Keim: Topological Vector Spaces. The Theory Without Convexity Conditions (= Lecture Notes in Mathematics. 639). Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-08662-5, S. 60.
↑ Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06888-0.