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Evolute – Wikipedia

Die Evolute (rot) einer Kurve (Parabel, blau) ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte oder auch die Einhüllende ihrer Normalen

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises der Kurve bewegt, wenn dieser die gesamte Kurve durchläuft.

Oder auch:

die Hüllkurve (Enveloppe) der Normalen der gegebenen Kurve.

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Beschreibt ${\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind $\rho (t)$ der Krümmungskreisradius und ${\vec {n}}(t)$ die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

${\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)$

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ und ${\vec {E}}=(X,Y)^{T}$ , so ist

$\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}$ und

$\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}$ .

Evolute: Die Normale in P ist Tangente in M.

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge $s$ der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) $\;|{\vec {c}}'|=1\;$ und $\;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;$ . Daraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute $\;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;$ :

${\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\;.$

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei $\rho '>0$ . Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

${\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big )}\;,$

wobei $l_{0}$ eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit ${\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}$ und $\rho '>0$ ergibt sich

${\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.$

D. h., für die Fadenverlängerung $l_{0}=\rho (0)$ erhält man die gegebene Kurve wieder.

Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand $d$ parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung ${\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}$ und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) $\rho _{d}=\rho -d$ . Die Evolute der Parallelkurve ist also ${\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.$

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung $(t,t^{2})$ beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

$X=\cdots =-4t^{3}$

$Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}$

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

Die Evolute der großen Nephroide (blau) ist die kleine Nephroide (rot)

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung $(a\cos t,b\sin t)$ ergibt sich:^[1]

$X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t$

$Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t$

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von $t$ liefert die implizite Darstellung

$(aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .$

Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
Zu einer logarithmischen Spirale: die gleiche logarithmische Spirale
Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)

↑ R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.

K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.
Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.

Eric W. Weisstein: Evolute. In: MathWorld (englisch).