Formale Potenzreihe – Wikipedia
Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den (Grenzwert-)Eigenschaften, liegt.
Gemeinsam ist, dass die Koeffizienten aus einem Ring genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich ein vollständiger Ring ist, meist der Körper
der reellen oder
der komplexen Zahlen.
Ein anderer Unterschied ist, dass die „Variable“ eine Unbestimmte ist, die oft mit Großbuchstaben
(oder
) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ nicht zugewiesen wird.
Die im Nullpunkt analytischen Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft differenzierbar sind und dem Koeffizientenvergleich unterliegen.
Wegen der vielen gemeinsamen Eigenschaften und Begriffsbildungen werden die formalen Laurent-Reihen in diesem Artikel mitbehandelt. Die Definitionen und Eigenschaften sind bei den formalen Laurent-Reihen geringfügig komplexer, enthalten aber sehr häufig die formalen Potenzreihen als Spezialfall.
Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen Computeralgebra-Systemen.
Für einen kommutativen Ring mit Einselement (den Ausgangsring) bezeichnet
den Ring der formalen Potenzreihen über
in der Unbestimmten
. Er ist isomorph zum Ring
der Folgen
mit , so dass
die zugehörige formale Potenzreihe ist und die Folge der Unbestimmten
entspricht.
Der Ring in
wird durch die Abbildung
eingebettet.
Die Folgenglieder werden Koeffizienten genannt. Vergleiche dazu auch Polynomring.
Der Ring ist die Lokalisierung von
am Element
. Er wird Ring der formalen Laurent-Reihen genannt. Er ist genau dann ein Körper, wenn
ein Körper ist, und stimmt dann mit dem Quotientenkörper von
überein.
Eine formale Laurent-Reihe kann endlich viele Glieder mit negativem Index haben, sie hat also die Form
mit
,
.
Diese Reihen können in die Menge[1] von unendlichen Folgen eingebettet und auch als
geschrieben werden unter der Vorschrift, dass fast alle Koeffizienten mit negativem Index verschwinden. Der Unbestimmten entspricht die Folge:
Die Funktion
,
falls (die Nullreihe)
,
falls
weist einer formalen Laurent-Reihe in der Unbestimmten ihre Ordnung in der Unbestimmten
zu. Das Minimum
existiert für
, weil es nur endlich viele Indizes
mit
gibt.
Hierbei gelten für die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:
- Für alle
gilt
und
.
Damit lassen sich die formalen Laurent-Reihen als Reihen
mit nach unten beschränkter Ordnung und die formalen Potenzreihen
als solche mit nicht-negativer Ordnung charakterisieren.
Der einfacheren Schreibweise halber nehmen wir generell an, dass ein Koeffizient einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe
, falls auf ihn mit einem Index
zugegriffen wird, den Wert 0 liefert.
Sei mit
eine zweite formale Potenz- oder Laurent-Reihe gegeben, dann geschieht ihre Addition
komponentenweise. Dabei ergibt die Summe zweier formaler Potenzreihen wieder eine formale Potenzreihe.
Die Multiplikation
ist eine Faltung. Wieder ergibt das Produkt zweier formaler Potenzreihen eine formale Potenzreihe.
- übereinstimmen.
- mit den Quotientenkörpern in der unteren Zeile.
Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad aus der Potenz- oder Laurent-Reihe
in
wird geschrieben als
Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden formalen Reihe auf die -te Komponente in
. Damit ist
und
.
Bei formalen Potenzreihen ist für
definitionsgemäß
.
Die Ordnung hat eine gewisse Analogie zur Gradfunktion in Polynomringen. So heißt der Koeffizient
auch Leitkoeffizient.
Es gilt für alle
- (Enthält
keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler –, dann gilt die Gleichheit.)
.
Die Funktion
erfüllt alle Forderungen eines nicht-archimedischen Pseudobetrags.
Ist ein Körper, dann ist
eine (diskrete) Bewertung (ein logarithmisch geschriebener nicht-archimedischer Betrag, engl. valuation) mit dem Ring
als dem (oben erwähnten) zugehörigen Bewertungsring.
Man erkennt die
-adische Topologie wieder, wo
das von
erzeugte Ideal der Vielfachen von
ist. Es ist das zugehörige maximale Ideal und
der Restklassenkörper.
Für ist
mit
und rekursiv
für
,
also beispielsweise
,
,
, ... .
Die sind Polynome in den
mit ganzzahligen (multinomialen) Koeffizienten, auch wenn die Rekursionsformel nur dann in einfacher Weise nach
aufzulösen ist, wenn
und
im Ring
invertierbar sind.
(Für den Fall
s. a. den § Komposition.)
Die formale Potenzreihe hat genau dann ein multiplikatives Inverses
, wenn das Absolutglied
invertierbar ist im Ring . Dann ist auch
und rekursiv
Ist ein Körper, dann ist eine formale Potenzreihe genau dann invertierbar in
, wenn das Absolutglied nicht 0 ist, das heißt, wenn sie nicht durch
teilbar ist.
Ist bei der formalen Potenzreihe das Absolutglied
oder handelt es sich um eine formale Laurent-Reihe, dann lässt sich bei invertierbarem Leitkoeffizienten
die Reihe
in
über den Zwischenschritt
multiplikativ invertieren mit dem Ergebnis:
Ist ein Körper, dann ist
der Quotientenkörper von
.
Ist der Divisor invertierbar in
, dann hat der Quotient
zweier Potenzreihen und
nach dem Rechenschema
Quotient Dividend Divisor
der in der Monomordnung gespiegelten Polynomdivision rekursiv die Koeffizienten
Der Zwischenschritt im § Multiplikatives Inverses deutet an, wie sich das gezeigte Rechenschema zu einem Divisionsalgorithmus in ausbauen lässt.
Für Körper lässt sich der Körper
der rationalen Funktionen (Polynomquotienten) der Form
in den Körper in ähnlicher Weise wie
in
einbetten.
Ein wichtiges Beispiel ist
.
Allgemeiner:
Ist
ein von 0 verschiedenes Polynom, dann ist mit der (Leit-)Koeffizient
invertierbar in
und mit
. Damit ist
multiplikativ invertierbar in
mit dem multiplikativen Inversen
. Das multiplikative Inverse von
ist dann
mit den Koeffizienten
- Ist
, dann ist
und
für
. Die
sind also die (um 1 Position verschobene) Fibonacci-Folge und
ihre erzeugende Funktion.
Somit ist ein Polynomquotientan seiner Koeffizientenfolge
nicht so leicht als rational zu erkennen wie eine rationale Zahl an ihrer periodischen g-adischen Entwicklung.
ist die Vervollständigung des Körpers
bezüglich der im § Konvergenz beschriebenen Metrik.
Eine formale Potenzreihe
ist unter der Metrik
.
Grenzwert der Folge von Polynomen mit
.
Das einschlägige Konvergenzkriterium ist ein Cauchy-Kriterium für Folgen, und ist die Vervollständigung des Polynomrings
bezüglich dieser Metrik.
Diese Metrik erzeugt die Krulltopologie in den Ringen und
.
Zwei Folgen von formalen Laurent-Reihen und
haben genau dann denselben Grenzwert, wenn es zu jedem
ein
gibt, so dass für alle
ist, was nichts Anderes bedeutet, als dass für ausreichend große Indizes die Differenzen von Gliedern der beiden Folgen durch beliebig hohe Potenzen von teilbar sind
– kurz: dass die beiden Grenzwerte gleiche Koeffizienten haben.
Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe Laurent-Reihe#Konvergenz von Laurent-Reihen.
Eine formale Potenzreihe ohne Absolutglied lässt sich in eine formale Potenz- oder Laurent-Reihe
mit dem Ergebnis
einsetzen (mit ihr verketten).
Für die Einsetzbarkeit der Potenzreihe ist wichtig, dass sie keinen konstanten Term (kein Absolutglied) hat, dass also
ist. Denn dann hängt
nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.
Ist eine Potenzreihe, also
, dann ist auch
eine Potenzreihe, und für die Koeffizienten
gilt die Formel
mit und
(s. Multiindex#Konventionen der Multiindex-Schreibweise).
Andernfalls, wenn es mit
gibt, dann können Potenzen
mit negativem Exponenten über das multiplikative Inverse
gebildet werden.
Die sind Polynome in den
mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im
Die formale Ableitung der formalen Potenz- oder Laurent-Reihe wird mit
oder (wie in der Analysis) mit
bezeichnet:
.
Dabei ergibt die Ableitung einer formalen Potenzreihe wieder eine formale Potenzreihe.
Sie ist eine -Derivation, und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung einschließlich der Kettenregel:
.
Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenz- oder Laurent-Reihen wie (unendliche) Taylor-Reihen oder Laurent-Reihen. Tatsächlich ist für
und
.
Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden. Ferner gilt
.
Für Reihen mit gilt das Gleichheitszeichen.
Sei ein Körper der Charakteristik 0.
Dann ist die Abbildung
eine -Derivation, die
erfüllt.
Das zeigt, dass der Koeffizient von in
von besonderem Interesse ist; er wird formales Residuum von
genannt und mit
notiert. Die Abbildung
ist -linear, und man hat die exakte Sequenz
.
- Ein paar Regeln aus der Differentialrechnung
Für alle gilt:
i. .
ii. .
iii. .
iv. .
v.
Eigenschaft (i) ist Teil der exakten Sequenz.
Eigenschaft (ii) folgt aus (i), wenn auf angewendet.
Eigenschaft (iii): Jedes kann als
mit
und
geschrieben werden, woraus
Wegen
ist
invertierbar in
woraus
folgt.
Eigenschaft (iv): Da kann man
mit
schreiben. Folglich ist
und (iv) folgt aus (i) und (iii).
Eigenschaft (v) folgt direkt aus der Definition.
Hat die formale Potenzreihe den Koeffizienten
und ist
invertierbar in
, dann lässt sich das Inverse der Komposition, die (formale) Umkehrfunktion,
von
bilden. Ihre Koeffizienten
sind ganzzahlige Polynome in
und den
.
Etwas schwächer, aber leichter hinzuschreiben, sind die Aussagen:
- Ist
ein Körper der Charakteristik 0, dann wird die Formel
- Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:
Istbeliebig, dann ist
Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die Formel von Lagrange-Bürmann) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und Bell-Polynomen.
- Beispiel
Die zu
inverse Reihe ist
,
denn es ist
,
woraus die Behauptung.
Der Ring kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden:
Sei eine kommutative assoziative Algebra über dem kommutativen und unitären Ring
. Ist nun
ein Ideal von
derart, dass die
-adische Topologie auf
vollständig ist, und ist
dann gibt es ein eindeutiges
mit den folgenden Eigenschaften:
Ist ein kommutativer Ring mit 1, dann sind
und
kommutative Ringe mit 1 und damit auch rekursiv
und
.
Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der an, m. a. W.: die Ringe aller Permutationen sind isomorph, und man kann jeden Zwischenring als Ausgangsring auffassen.
Allgemein versteht man jede Summe
von Monomen der Form mit ganzzahligen Exponenten
als formale Reihe in mehreren Unbestimmten,
und zwar als Potenzreihe, wenn alle Koeffizienten mit einer negativen Indexkomponente
verschwinden,
oder als Laurent-Reihe, wenn es eine untere Schranke
mit
gibt.
Durch eine Monomordnung ist es möglich, die Monome entsprechend anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.
Die Größe heißt der Totalgrad eines Monoms
.
Haben die (nichtverschwindenden) Monome einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe alle denselben Totalgrad, so ist sie eine homogene Reihe; bei einer formalen Potenzreihe handelt es sich dann um ein homogenes Polynom.
Beim Operator zur Koeffizientenextraktion
aus der Potenz- oder Laurent-Reihe müssen konstruktionsbedingt alle Monome, in denen die Unbestimmte
den Grad
hat, als Potenz- oder Laurent-Reihe in den anderen Unbestimmten
zusammengefasst werden.
Bei der obigen sukzessiven Bildung von geht die Topologie des Ausgangsrings, hier:
, verloren: die Topologie des Teilraums
in
ist konstruktionsgemäß die diskrete.
Man kann aber auch, wenn solches nicht erwünscht ist, das Ergebnis
mit dem Produkt der Topologien von
und
ausstatten.
Für Ringe
von formalen Laurent-Reihen gilt Entsprechendes.
- L. V. Kuz'min: Formal power series. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Josef Hofbauer: Lagrange–Inversion. Abgerufen am 6. Mai 2018.
- Alan D. Sokal: A Ridiculously Simple and Explicit Implicit Function Theorem. 31. Januar 2009, abgerufen am 6. Mai 2018 (englisch).
- Eric W. Weisstein: Lagrangesche Inversionsformel. In: MathWorld (englisch).
- ↑ die unter der noch zu definierenden Addition eine additive Gruppe ist, bei der die nachfolgende Definition der Multiplikation aber nicht funktioniert
- ↑ A. Sokal
- ↑ J. Hofbauer