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Harmonische Funktion – Wikipedia

Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Sei {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} eine offene Teilmenge. Eine Funktion {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} } heißt harmonisch in {\displaystyle U}, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle {\displaystyle x\in U}

{\displaystyle \Delta f(x)=0}

gilt. Dabei bezeichnet {\displaystyle \Delta ={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}} den Laplace-Operator.

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} } ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{r^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}f(y)\mathrm {d} \sigma (y)}

für alle Kugeln {\displaystyle \ B(x,r)} mit {\displaystyle {\overline {B}}(x,r)\subset U}. Hierbei bezeichnet {\displaystyle \omega _{n-1}} den Flächeninhalt der {\displaystyle (n-1)}-dimensionalen Einheitssphäre (siehe Inhalt und Volumen der Einheitssphäre).

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

Die Grundlösung

{\displaystyle S(x):=\left\{{\begin{array}{ll}-{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|\ ,&n=2\ ,\\{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}}}{\frac {1}{\|x\|^{n-2}}}\ ,&n\geq 3\ ,\\\end{array}}\right.}

ist eine auf {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} harmonische Funktion, worin {\displaystyle \omega _{n}} das Maß der Einheitssphäre im {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

{\displaystyle {\Delta }^{m}f=0}

Für {\displaystyle m=2} (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).