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Inzidenzgeometrie – Wikipedia

Unter einer Inzidenzgeometrie versteht man in der Mathematik eine Geometrie, die durch eine so genannte Inzidenzrelation charakterisiert wird. Anschaulich gesprochen erklärt die Inzidenzrelation, welche Punkte in einer bestimmten Geraden enthalten sind, bzw. wie und ob sich Geraden schneiden.

Die Inzidenzgeometrie bietet einen axiomatischen Zugang zur Geometrie und stellt die sonst sehr anschaulichen (weil aus der Beobachtung der Natur erwachsenen) Definitionen auf eine abstrakte Ebene, indem sie zunächst nur elementare Begriffe aus der Mengenlehre verwendet.

Eine Inzidenzstruktur {\displaystyle (P,B,I)} ist ein Tripel bestehend aus einer Menge {\displaystyle P} von Punkten, einer Menge {\displaystyle B} von Blöcken (Geraden) und einer Inzidenzrelation {\displaystyle I}, also einer Teilmenge {\displaystyle I\subset P\times B}. Die Inzidenzstruktur heißt Inzidenzgeometrie, wenn je zwei beliebige Punkte mit genau einer Geraden inzidieren.

Eine Menge {\displaystyle M\subset P} heißt Linearmenge, wenn für jede Gerade {\displaystyle g}, die mit zwei Punkten aus {\displaystyle M} inzidiert, jeder weitere Punkt, der mit {\displaystyle g} inzidiert, in {\displaystyle M} liegt. Eine Linearmenge von {\displaystyle P} bildet gemeinsam mit ihren zugehörigen Geraden eine Inzidenzgeometrie, welche als Teilraum oder Teilgeometrie von {\displaystyle (P,B,I)} bezeichnet wird.

Damit definiert man den Begriff der linearen Hülle ganz ähnlich wie in der linearen Algebra: Die lineare Hülle {\displaystyle \langle M\rangle } einer Menge {\displaystyle M\subset P} ist der Schnitt über alle Linearmengen, die {\displaystyle M} enthalten. {\displaystyle \langle M\rangle } ist daher die kleinste Linearmenge, die {\displaystyle M} enthält.

Eine Menge {\displaystyle M\subset P} heißt Basis der Menge {\displaystyle P}, wenn {\displaystyle \langle M\rangle =P} und wenn es keine kleinere Menge gibt, die dieselbe Eigenschaft hat. Die Dimension eines Raumes lässt sich dann so definieren, dass sie um 1 kleiner ist als die Mächtigkeit einer Basis.

Beispiel einer Inzidenzgeometrie, man beachte, dass bei solchen graphischen Darstellungen alle Geraden, die nur aus 2 Punkten bestehen, aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet werden.

Eine projektive Geometrie {\displaystyle (P,B,I)} ist eine Inzidenzgeometrie, welche das Veblen-Young-Axiom erfüllt: Sind {\displaystyle A,B,C,D\in P}, {\displaystyle g_{AB},g_{CD}} die Geraden durch {\displaystyle A,B} bzw. {\displaystyle C,D}, und gibt es einen Punkt, mit dem sowohl {\displaystyle g_{AB}} als auch {\displaystyle g_{CD}} inzidieren, so gibt es auch einen Punkt, mit dem sowohl {\displaystyle g_{AD}} als auch {\displaystyle g_{CB}} inzidieren.

Diesem Axiom kann man noch ein weiteres Axiom hinzufügen, welches verlangt, dass jede Gerade mindestens mit 3 Punkten inzidiert und dass es mindestens 2 Geraden gibt. Eine projektive Geometrie, welche dieses Axiom nicht erfüllt, nennt man entartet.

Das Veblen-Young-Axiom besagt, dass zwei Geraden, die in einer gemeinsamen Ebene verlaufen, immer einen Schnittpunkt besitzen (d. h. es gibt keine parallelen Geraden).

Eine affine Geometrie {\displaystyle (P,B,I)} ist eine Inzidenzgeometrie mit folgenden Eigenschaften:

Wiederum kann man das Axiom hinzufügen, dass es zwei Geraden gibt und dass jede Gerade mit mindestens 3 Punkten inzidiert. Eine affine Geometrie, welche dieses Axiom nicht erfüllt, nennt man ebenfalls entartet.

Anschaulich gesprochen besagt das Trapezaxiom, dass zwei parallele Geraden immer in einer gemeinsamen Ebene verlaufen.

Wird der Parallelismus als Äquivalenzrelation verstanden, wie in dieser Definition, dann gilt insbesondere, dass eine Gerade zu sich selbst parallel ist, sonst wäre die Relation nicht reflexiv.