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Wittscher Blockplan – Wikipedia

(Weitergeleitet von Mathieugruppe)

Als Wittsche Blockpläne[1] (auch Witt-Designs, engl. Witt designs[2]) werden in der endlichen Geometrie bestimmte Blockpläne bezeichnet, die 1931 von Robert Daniel Carmichael entdeckt[3] und 1938 von Ernst Witt, nach dem sie auch benannt sind, erneut beschrieben wurden[4]. Es handelt sich dabei zunächst um zwei 5-Blockpläne, die als kleiner bzw. großer Wittscher Blockplan bezeichnet werden. Beide sind bis auf Isomorphie die einzigen einfachen 5-Blockpläne mit der Punktanzahl 12 (kleiner) bzw. 24 (großer Wittscher Blockplan). Der kleine Wittsche Blockplan {\displaystyle \mathrm {W} _{12}} ist ein {\displaystyle 5-(12,6,1)}-Blockplan, als Steinersystem ein {\displaystyle S(5,6;12)}; der große {\displaystyle \mathrm {W} _{24}} ist ein {\displaystyle 5-(24,8,1)}-Blockplan, als Steinersystem ein {\displaystyle S(5,8;24)}.

Die Bedeutung des kleinen und großen Wittschen Blockplans liegt – für die Diskrete Mathematik – darin, dass sie jahrzehntelang die einzigen bekannten, nichttrivialen 5-Blockpläne waren und dadurch sehr ausführlich untersucht sind. In der Gruppentheorie, genauer für die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, sind die beiden 5-Blockpläne und ihre Ableitungen {\displaystyle \mathrm {W} _{11},\mathrm {W} _{23},\mathrm {W} _{22}}, die häufig auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, von großer Bedeutung, da die Mathieu-Gruppen (benannt nach Émile Léonard Mathieu, das sind 5 der sporadischen einfachen Gruppen, {\displaystyle \mathbb {M} _{12},\mathbb {M} _{11},\mathbb {M} _{24},\mathbb {M} _{23},\mathbb {M} _{22}}) ihre Automorphismengruppen sind.

Geometrische Konstruktion
Die affine Ebene{\displaystyle A=AG_{1}(2,3)}.

Der {\displaystyle 5-(12,6,1)}-Blockplan {\displaystyle \mathrm {W} _{12}=({\mathfrak {q}},{\mathfrak {B}},\in )} kann als dreifache Erweiterung der affinen Ebene der Ordnung 3, {\displaystyle A=AG_{1}(2,3)=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {G}},\in )} (siehe die Abbildung rechts) konstruiert werden. Man macht sich dabei einige Besonderheiten dieser Ebene zunutze:

  1. Jeder Punkt von {\displaystyle A} ist in genau 8 Vierecken aus {\displaystyle V_{j}} enthalten,
  2. je zwei verschiedene Punkte von {\displaystyle A} liegen in genau 3 Vierecken aus {\displaystyle V_{j}},
  3. jedes Dreieck von {\displaystyle A} ist in genau einem Viereck aus {\displaystyle V_{j}} enthalten.

Nun werden der Punktmenge drei zusätzliche Punkte {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\not \in {\mathfrak {p}}} hinzugefügt {\displaystyle \left({\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cup \{q_{1},q_{2},q_{3}\}\right)} und folgende Typen von Blöcken für die neue Blockmenge {\displaystyle {\mathfrak {B}}} definiert:

  1. Für jede Gerade G von A seien {\displaystyle G^{*}=G\cup \{q_{1},q_{2},q_{3}\}}
  2. und {\displaystyle G^{c}={\mathfrak {p}}\setminus G} (dies sind die Punkte eines Parallelenpaars von A) Blöcke von {\displaystyle \mathrm {W} _{12}}.
  3. Für jedes Viereck v von A mit {\displaystyle v\in V_{j}} seien {\displaystyle v^{*}=(v\cup \{q_{1},q_{2},q_{3}\})\setminus \{q_{j}\}}
  4. und {\displaystyle v^{+}=v\cup \{d(v),q_{j}\}} Blöcke von {\displaystyle \mathrm {W} _{12}}.

Dies ergibt für {\displaystyle \mathrm {W} _{12}} insgesamt 132 Blöcke mit je 6 Punkten: 12 für die erweiterten Geraden (1. Typ), 12 für die Komplemente der Geraden, das sind die Parallelenpaare von A (2. Typ) und je 54 für die erweiterten Vierecke (3. Typ) und die erweiterten Paare von schneidenden Geraden (4. Typ).

Die so definierte Inzidenzstruktur {\displaystyle \mathrm {W} _{12}=({\mathfrak {q}},{\mathfrak {B}},\in )} ist ein {\displaystyle 5-(12,6,1)}-Blockplan.[5]

Der große Wittsche Blockplan {\displaystyle \mathrm {W} _{24}} lässt sich als dreifache Erweiterung der projektiven Ebene {\displaystyle PG_{1}(2,4)} der Ordnung 4 konstruieren.[6]

Die Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur, die einer Regularitätsbedingung genügen, sind diejenigen der Inzidenzparameter {\displaystyle b_{i}} (durchschnittliche Blockanzahl durch i beliebige Punkte) bzw. {\displaystyle v_{j}} (durchschnittliche Punktzahl auf j beliebigen Blöcken), die bei allen i-elementigen Punktmengen bzw. j-elementigen Blockmengen übereinstimmenden positiven Zahlen gleichen. Beim kleinen und großen Wittschen 5-Blockplan, die beide als Inzidenzstrukturen den Typ (5,1) haben, sind dies die Parameter {\displaystyle b_{0},b_{1},\ldots b_{5}=1} und {\displaystyle v_{0},v_{1}}. Nach jeder Ableitung genügt ein Blockparameter weniger seiner Regularitätsbedingung:

Reguläre Inzidenzparameter
Blockplan Typ als Inzidenzstruktur b5 b4 b3 b2 b1 (r) b0 (Gesamtblockzahl) v2 v1 (k) v0 (Gesamtpunktzahl)
{\displaystyle \mathrm {W} _{9}\cong AG_{1}(2,3)} (2,1) - - - 1 4 12 - 3
{\displaystyle \mathrm {W} _{10}} (3,1) - - 1 4 12 30 - 4 10
{\displaystyle \mathrm {W} _{11}} (4,1) - 1 4 12 30 66 - 5 11
{\displaystyle \mathrm {W} _{12}} (5,1) 1 4 12 30 66 132 - 6 12
{\displaystyle \mathrm {W} _{21}\cong PG_{1}(2,4)} (2,2) - - - 1 5 21 1 5 21
{\displaystyle \mathrm {W} _{22}} (3,1) - - 1 5 21 77 - 6 22
{\displaystyle \mathrm {W} _{23}} (4,1) - 1 5 21 77 253 - 7 23
{\displaystyle \mathrm {W} _{24}} (5,1) 1 5 21 77 253 759 - 8 24

Außerdem lässt sich für Teilmengen {\displaystyle U\subseteq B\in {\mathfrak {B}}} eines Blockes B eine nur von der Punktzahl {\displaystyle u=|U|} abhängige Schnittzahl {\displaystyle n_{u}=n(B,U)=\left|\{Y\in {\mathfrak {B}}|B\cap Y=U\}\right|} angeben, falls {\displaystyle u\leq k} ist. Mit anderen Worten ist {\displaystyle n_{u}} die von B und U unabhängige Anzahl von Blöcken, die mit B genau alle Punkte von U gemeinsam haben. Die folgende Tabelle gibt diese Schnittzahlen an:[2]

Schnittzahlen
t k v0 n8 n7 n6 n5 n4 n3 n2 n1 n0
2 3 9 - - - - - 1 0 3 2
3 4 10 - - - - 1 0 3 2 3
4 5 11 - - - 1 0 3 2 3 0
5 6 12 - - 1 0 3 2 3 0 1
2 5 21 - - - 1 0 0 0 4 0
3 6 22 - - 1 0 0 0 4 0 16
4 7 23 - 1 0 0 0 4 0 16 0
5 8 24 1 0 0 0 4 0 16 0 30

Mit Hilfe dieser Schnittzahlen kann man die Eindeutigkeit der Wittschen Blockpläne (bis auf Isomorphie, als Blockpläne mit ihren jeweiligen Parametern) nachweisen.[2]

Die 5 sporadischen Mathieu-Gruppen {\displaystyle \mathbb {M} _{11},\mathbb {M} _{12},\mathbb {M} _{22},\mathbb {M} _{23},\mathbb {M} _{24}} sind die vollen Automorphismengruppen der Wittschen Blockpläne, wobei der Subskript an der Kurzbezeichnung jeweils dem Subskript des zugehörigen Witt-Blockplanes, also dessen Punktzahl v entspricht. Alle fünf sind einfache Gruppen, d. h. sie haben keine außer den trivialen Normalteilern.[9] Rein gruppentheoretisch lässt sich der Subskript v der Mathieugruppen auch beschreiben als minimale ganze Zahl {\displaystyle v}, so dass {\displaystyle \mathbb {M} _{v}} als Permutationsgruppe auf {\displaystyle \{1,2,\ldots ,v\}} operiert, mit anderen Worten, {\displaystyle S_{v}} ist die kleinste symmetrische Gruppe, so dass ein Gruppenmonomorphismus {\displaystyle \mathbb {M} _{v}\rightarrow S_{v}} existiert. Der Parameter {\displaystyle t} des Blockplanes, der angibt, für wie viele beliebige Punkte jeweils ein gemeinsamer Block existiert, gibt gruppentheoretisch den maximalen Transitivitätsgrad der zugehörigen Mathieugruppe an, das heißt, die Gruppe operiert als {\displaystyle t}-fach, aber nicht {\displaystyle t+1}-fach transitive Permutationsgruppe auf den Punkten des entsprechenden Blockplans und kann auf keiner Menge mehr als {\displaystyle t}-fach transitiv und treu operieren.

Mathieu-Gruppe Gruppenordnung Blockplan Parameter {\displaystyle t-(v,k,\lambda )} Steiner-Notation
{\displaystyle \mathbb {M} _{11}} 7920{\displaystyle =2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11} {\displaystyle \mathrm {W} _{11}} {\displaystyle 4-(11,5,1)} {\displaystyle S(4,5;11)}
{\displaystyle \mathbb {M} _{12}} 95040{\displaystyle =2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11} {\displaystyle \mathrm {W} _{12}} {\displaystyle 5-(12,6,1)} {\displaystyle S(5,6;12)}
{\displaystyle \mathbb {M} _{22}} 443520{\displaystyle =2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11} {\displaystyle \mathrm {W} _{22}} {\displaystyle 3-(22,6,1)} {\displaystyle S(3,6;22)}
{\displaystyle \mathbb {M} _{23}} 10200960{\displaystyle =2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23} {\displaystyle \mathrm {W} _{23}} {\displaystyle 4-(23,7,1)} {\displaystyle S(4,7;23)}
{\displaystyle \mathbb {M} _{24}} 244823040{\displaystyle =2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23} {\displaystyle \mathrm {W} _{24}} {\displaystyle 5-(24,8,1)} {\displaystyle S(5,8;24)}
Originalartikel
  • Thomas Beth, Dieter Jungnickel: Mathieu Groups, Witt Designs and Golay Codes. In: Geometries and Groups (= Lecture Notes in Mathematics). Band 893. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1981, ISBN 3-540-11166-2, S. 157–179.
  • Robert Daniel Carmichael: Tactical Configurations of Rank Two. In: American Journal of Mathematics. Band 53, 1931, S. 217–240, JSTOR:2370885.
  • Ernst Witt: Die 5-Fach transitiven Gruppen von Mathieu. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 12, 1938, S. 256–264, doi:10.1007/BF02948947.
Lehrbücher
  • Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 2. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, London/New York/New Rochelle/Melbourne/Sidney 1999, ISBN 0-521-33334-2, IV: Witt designs and Mathieu groups.
  • Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. I. Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9, 2.4: Ein 5-Blockplan.
  1. ↑ a b Beutelspacher (1982)
  2. ↑ a b c d e Beth, Jungnickel, Lenz (1999)
  3. ↑ Carmichael (1931)
  4. ↑ Witt (1938)
  5. ↑ Beutelspacher (1982), Hauptsatz 2.4.6
  6. ↑ Eine Skizze dieser Konstruktion, die auf Witt(1938) zurückgeht, findet sich in Beth, Jungnickel, Lenz (1999), IV.6.4: Construction
  7. ↑ Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Corollary IV.2.6
  8. ↑ Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Lemma IV.4.11
  9. ↑ Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Theorem IV.5.12