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Monotone reelle Funktion – Wikipedia

Eine monotone reelle Funktion ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, bei der der Funktionswert $f(x)$ entweder immer wächst oder gleich bleibt beziehungsweise immer fällt oder gleich bleibt, wenn das Argument $x$ erhöht wird. Steigt der Funktionswert immer, wenn das Argument erhöht wird, so heißt die Funktion streng monoton steigend, steigt der Funktionswert immer oder bleibt er gleich, heißt sie monoton steigend. Analog heißt eine Funktion streng monoton fallend, wenn ihr Funktionswert immer fällt, wenn das Argument erhöht wird, und monoton fallend, wenn er immer fällt oder gleich bleibt. Reelle monotone Funktionen sind klassische Beispiele für monotone Abbildungen.

Eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ , wobei $D$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist, heißt

monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\leq y$ gilt, dass $f(x)\leq f(y)$ .
streng monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x<y$ gilt, dass $f(x)<f(y)$ .
monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\leq y$ gilt, dass $f(x)\geq f(y)$ .
streng monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x<y$ gilt, dass $f(x)>f(y)$ .
monoton, wenn sie monoton steigt oder monoton fällt.
streng monoton, wenn sie entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt.

Manchmal werden die nicht strengen Monotoniebegriffe nur für $x<y$ definiert, also „[...] heißt monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x<y$ gilt, dass $f(x)\leq f(y)$ “. Die beiden Definitionen sind gleichwertig, da aus $x=y$ trivialerweise $f(x)=f(y)$ folgt.

Es findet sich auch die Bezeichnung „wachsend“ anstelle von „steigend“.
Synonym für „streng“ findet man auch „strikt“ oder "echt".
Monoton fallend wird gelegentlich auch antiton genannt und monoton wachsend wird auch isoton genannt.
Anstelle des Begriffspaares (monoton wachsend, streng monoton wachsend) wird auch das Begriffspaar (monoton nicht-fallend, monoton wachsend) oder kurz (nicht-fallend, wachsend) verwendet; entsprechend wird anstelle des Begriffspaars (monoton fallend, streng monoton fallend) auch (monoton nicht-wachsend, monoton fallend) oder kurz (nicht-wachsend, fallend) verwendet.

{\displaystyle f(x)=x^{2}} — Graph der Funktion $f(x)=x^{2}$

{\displaystyle f(x)=\ln(x)} — Graph der Funktion $f(x)=\ln(x)$

$x^{2}-y^{2}=\underbrace {(x+y)} _{<0}\underbrace {(x-y)} _{<0}>0$ ,

also ist $f$ streng monoton fallend auf $(-\infty ,0]$ . Der Nachweis, dass $f$ streng monoton wachsend auf $[0,\infty )$ ist, funktioniert analog, aber mit dem Argument, dass $x+y>0$ , wenn $y>x\geq 0$ ist. Damit ist die Funktion aber nicht monoton auf $[-1,1]$ , da sie auf diesem Intervall kein festes Monotonieverhalten besitzt.

$\ln(x)-\ln(y)=\ln(x/y)<0$ ,

wenn $x<y$ , da dann $0<{\tfrac {x}{y}}<1$ ist und dementsprechend $\ln(x/y)<0$ . Also ist $\ln(x)<\ln(y)$ . Somit ist der Logarithmus streng monoton wachsend und demnach auch streng monoton.

Die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ für }}x<0\\0&{\text{ für }}x\geq 0\end{cases}}$

ist monoton fallend auf dem Intervall $[-1,1]$ , aber nicht streng monoton fallend. Der Nachweis der Monotonie in der linken Hälfte des Intervalls folgt dem ersten Beispiel, auf dem Intervall $[0,1]$ ist jedoch $f(x)-f(y)=0$ und damit kann keine strikte Monotonie gelten. Somit ist die Funktion monoton fallend und damit auch monoton.

Für eine reelle monotone Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$ gilt:

(indirekter) Beweis

A. Voraussetzung: $\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L.\quad$

Annahme: Es gibt ein $x_{0}\in D$ mit $f(x_{0})=L$ .

weiter ist $f(x)<f(x_{1})=L-\epsilon$ für alle $D\ni x<x_{1};\quad$

weiter ist $f(x)>f(x_{1})=L+\epsilon$ für alle $D\ni x<x_{1}.\quad$

Beide Überlegungen lassen sich zu einer Formulierung zusammenfassen, die zusätzlich die Möglichkeit $f(x)=L\pm \epsilon$ zulässt:

Wegen strenger Monotonie von $f$ existiert ein $D\ni x_{1}<x_{0}$ mit $f(x_{1})\neq f(x_{0})=L,$ sodass $|f(x_{1})-L|=:\epsilon >0$ ;

weiter ist $f(x)\notin U_{\epsilon }(L)$ für alle $D\ni x<x_{1}.\quad$ (1)

Wegen Konvergenz von $f$ existiert ein $S$ so, dass $f(x)\in U_{\epsilon }(L)$ für alle $D\ni x<S.\quad$ (2)

Mit (1) und (2) gilt für alle $x<\min(x_{1},S)$ sowohl $f(x)\notin U_{\epsilon }(L)$ also auch $f(x)\in U_{\epsilon }(L)$ (Widerspruch), q. e. d.

B. Voraussetzung: $\textstyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=L.\quad$

Annahme: Es gibt ein $x_{0}\in D$ mit $f(x_{0})=L$ .

weiter ist $f(x)>f(x_{1})=L+\epsilon$ für alle $D\ni x>x_{1};\quad$

weiter ist $f(x)<f(x_{1})=L-\epsilon$ für alle $D\ni x>x_{1}.\quad$

Beide Überlegungen lassen sich zu einer Formulierung zusammenfassen, die zusätzlich die Möglichkeit $f(x)=f(x_{0})=L\pm \epsilon$ zulässt:

Wegen strenger Monotonie von $f$ existiert ein $D\ni x_{1}>x_{0}$ mit $f(x_{1})\neq L,$ sodass $|f(x_{1})-L|=:\epsilon >0$ ;

weiter ist $f(x)\notin U_{\epsilon }(L)$ für alle $D\ni x>x_{1}.\quad$ (1')

Wegen Konvergenz von $f$ existiert ein $S$ so, dass $f(x)\in U_{\epsilon }(L)$ für alle $D\ni x>S.\quad$ (2')

Mit (1') und (2') gilt für alle $x>\max(x_{1},S)$ sowohl $f(x)\notin U_{\epsilon }(L)$ also auch $f(x)\in U_{\epsilon }(L)$ (Widerspruch), q. e. d.

Ist die Funktion $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ differenzierbar, so lässt sich die Ableitung als Monotoniekriterium verwenden. Die Kriterien für strenge Monotonie lauten:

Zu beachten ist, dass dieses Kriterium nur hinreichend, aber nicht notwendig ist. Es gibt auch streng monotone Funktionen, deren Ableitung null wird, ein Beispiel ist weiter unten aufgeführt. Es lässt sich mit zusätzlichen Forderungen noch eine Verschärfung dieser Kriterien formulieren:

Die Kriterien für Monotonie lauten:

Bei diesen Kriterien handelt es sich um Äquivalenzen.

Alle genannten Kriterien lassen sich noch erweitern: Ist zusätzlich $f$ stetig auf $[a,b)$ (bzw. $(a,b]$ oder $[a,b])$ ), so gilt die Aussage über die Monotonie auch für das Intervall $[a,b)$ (bzw. $(a,b]$ oder $[a,b])$ ).

{\displaystyle f(x)=x^{3}} — Der Graph der Funktion $f(x)=x^{3}$ . Die Funktion ist streng monoton wachsend.

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy)<0$ .

Haben beide unterschiedliches Vorzeichen, so ist direkt $x^{3}-y^{3}<0$ . Somit ist dies ein Beispiel dafür, dass die ersten beiden Kriterien nur hinreichend, aber nicht notwendig sind. Das dritte Kriterium greift hier aber: Die Ableitung der Funktion verschwindet bloß im Punkt $x_{0}=0$ und ist sonst größer null. Dies ist äquivalent zum streng monotonen Wachstum von $f$ .

Sei $I\subset \mathbb {R}$ ein Intervall und $f\colon I\to \mathbb {R}$ sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist:

Um den Monotoniebegriff auf Funktionen zu verallgemeinern, die auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ definiert sind, wählt man auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ einen echten Kegel $K$ und betrachtet die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$ und die strikte verallgemeinerte Ungleichung $x\prec _{K}y$ sowie eine konvexe Menge $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ . Dann heißt eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$

Wählt man als Vektorraum den $S^{n}$ (den Raum aller reellen symmetrischen Matrizen) und als Kegel den semidefiniten Kegel (bzw. als verallgemeinerte Ungleichung die Loewner-Halbordnung), so erhält man die Matrix-monotonen Funktionen.

Eine Möglichkeit, Monotonie für Funktionen $h\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ zu verallgemeinern ist, für $x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T},\,y=(y_{1},\dots ,y_{n})^{T}$ zu fordern, dass wenn $x_{i}\leq y_{i}$ für $i=1,\dots ,n$ ist, dass dann für eine monoton wachsende Funktion gelten soll, dass $h_{i}(x)\leq h_{i}(y)$ ist. Die Formulierung monoton fallender Funktionen und der strikten Versionen folgt analog. Dieses Vorgehen entspricht der Verallgemeinerung der Ordnung auf $\mathbb {R}$ auf die komponentenweise Halbordnung auf $\mathbb {R} ^{n}$ .

Alternativ kann man die Eigenschaft von monoton wachsenden reellen Funktionen, dass $(x-y)(f(x)-f(y))\geq 0$ für beliebige $x,y$ gilt, verallgemeinern. Dies führt dann zu dem folgenden Monotoniebegriff: Gegeben sei $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ und eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R} ^{n}$ . Die Funktion heißt

Verallgemeinert man dies weiter, so erhält man den Begriff eines monotonen Operators.

Ein anderes Monotoniekonzept für Funktionen wird mit dem Differenz-Operator $\Delta _{a}^{b}$ definiert. Eine Funktion $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ heißt rechtecksmonoton, falls

$a\leq b\implies \Delta _{a}^{b}F\geq 0\quad {\text{ für alle }}a,b\in \mathbb {R} ^{n}$

gilt.^[1] Eine rechtecksmonotone Funktion wird auch $n$ -steigend genannt.

Die Rechtecksmonotonie spielt eine Rolle bei der Definition multivariater Verteilungsfunktionen und bei der Definition einer Copula. Weder ist ein rechtecksmonotone Funktion notwendig monoton steigend, noch ist eine monoton steigende Funktion notwendig rechtecksmonoton^[2].

Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3.
Konrad Königsberger: Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-40371-X.
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).

L.D. Kudryavtsev: Monotone function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Christian Franzki: Monotonie von Funktionen (Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktion). In: Mathematik-Wissen.de. 6. März 2012, abgerufen am 16. Mai 2015.

↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 294, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 299, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.