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Nilpotente Gruppe – Wikipedia

Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. In gewissem Sinn verallgemeinert er für endliche Gruppen den Begriff der kommutativen Gruppe „so wenig wie möglich“: Jede kommutative Gruppe ist nilpotent, aber nicht umgekehrt. Endliche kommutative Gruppen lassen sich (bis auf Isomorphie) eindeutig als direktes Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung darstellen. Dies ist eine Aussage des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Bei endlichen nilpotenten Gruppen übernehmen die p-Sylowgruppen die Rolle der zyklischen Gruppen: Jede endliche nilpotente Gruppe ist (bis auf Isomorphie) ein direktes Produkt ihrer p-Sylowgruppen. Die Definition des Begriffs „nilpotente Gruppe“ beruht auf dem allgemeineren Konzept einer Kette von Untergruppen (mit bestimmten Eigenschaften), das im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert wird.

Für nilpotente Gruppen lassen sich diverse äquivalente Charakterisierungen angeben. Sie werden oft über die Betrachtung bestimmter Reihen eingeführt. Definiere für eine Gruppe die Kommutatoren induktiv

$L_{1}(G)=G$

$L_{n}(G):=[L_{n-1}(G),G]$ für $n>1$ .

Man erhält dadurch die absteigende Zentralreihe

$G=L_{1}(G)\geq L_{2}(G)\geq \dots \geq L_{n}(G)$ .

Man nennt $G$ nilpotent, falls die absteigende Zentralreihe für ein $n\in \mathbb {N}$ bei der Einsgruppe endet.

Ähnlich kann man für $G$ das $n$ -te Zentrum $Z_{n}(G)$ induktiv wie folgt definieren.

$Z_{0}(G):=1$ ,

$Z_{1}(G):=Z(G)$

$Z_{n}(G)$ ist das Urbild von $Z(G/Z_{n-1}(G))$ .

Damit ist

$1=Z_{0}(G)\leq Z_{1}(G)\leq \dots \leq Z_{n}(G)$

eine aufsteigende Reihe; die aufsteigende Zentralreihe. Man kann zeigen, dass $G$ genau dann nilpotent im obigen Sinne ist, falls diese Reihe bis zu ganz $G$ aufsteigt und dass die Längen beider Ketten gleich sind, was zur Definition der Nilpotenzklasse (auch Nilpotenzgrad) führt. Der Nilpotenzgrad ist genau die gemeinsame Länge dieser beiden Reihen.^[1]

Für endliche Gruppen gelten folgende Charakterisierungen:^[2]

Das direkte Produkt nilpotenter Gruppen ist nilpotent, falls die Nilpotenzgrade der Faktoren beschränkt sind.
Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent. Eine unendliche p-Gruppe ist nilpotent, wenn die Ordnung der Gruppenelemente beschränkt ist. (Beachte, dass diese Forderung stärker ist, als die Forderung endlicher Ordnung für Gruppenelemente, die durch die Definition der p-Gruppe ohnehin gewährleistet ist.)
Eine endliche nilpotente Gruppe ist isomorph zum direkten Produkt ihrer p-Sylow-Untergruppen. Man beachte dabei, dass jede nilpotente Gruppe zu jeder Primzahl p genau eine (ggf. triviale) p-Sylow-Untergruppe besitzt.

${\begin{pmatrix}1&*&\cdots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}$ (dabei stehen die Sterne für beliebige Elemente von $K$ )

ist eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen, die Gruppe der strikten oberen Dreiecksmatrizen. Sie ist nilpotent mit Nilpotenzgrad $n-1$ .
Im Spezialfall $n=3$ , $K=\mathbb {R}$ trägt diese Gruppe auch den Namen Heisenberggruppe.

Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5^th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

↑ Michael Aschbacher: Finite group theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Band 10, 2te Auflage, Cambridge University Press (2000), ISBN 0-521-78145-0, S. 28–29.
↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.4
↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.10
↑ Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: The theory of finite groups. An introduction. Springer, New York u. a. 2004, ISBN 0-387-40510-0, S. 105.