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Rang (Lineare Algebra) – Wikipedia

Der Rang ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer Matrix oder einer linearen Abbildung zu. Übliche Schreibweisen sind $\operatorname {rang} (f)$ und $\operatorname {rg} (f)$ . Seltener werden auch die englischen Schreibweisen $\operatorname {rank} (f)$ und $\operatorname {rk} (f)$ benutzt.

$\operatorname {rang} (f)=\dim(\operatorname {Bild} (f)).$

Eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix besitzen den gleichen Rang.

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matrix in (Zeilen-)Stufenform um. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Beispiele:

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&10&2\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&0&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow \operatorname {rang} (A)=3$

$B={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&3&2\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow \operatorname {rang} (B)=2$

$C={\begin{pmatrix}2&3\\0&1\\4&-1\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}2&3\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow \operatorname {rang} (C)=2$

Alternativ lässt sich die Matrix auch in Spaltenstufenform umformen. Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind.

Mit dem zur Berechnung angewandten Verfahren kann jede Matrix in eine gleich große Matrix überführt werden, die in der oberen linken Ecke eine Einheitsmatrix E gleichen Ranges und sonst nur Nullen enthält:^[3]^[4]

		E	0
		0	0

Die Transformation der Matrix M

LMR = N

mit regulären Matrizen L und R auf Normalform N gelingt immer.

Beispiel: Vorgelegt ist die Matrix

${\mathsf {M}}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\-3&3&-1\end{pmatrix}}$

Ihre Transformation auf Normalform geschieht mit

${\mathsf {LMR}}={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\-3&3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&-1\\1&2&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

Die Matrizen L und R sind regulär, denn ihre Determinanten sind ungleich null:

$\mathrm {det} ({\mathsf {L}})={\begin{vmatrix}1&0\\-2&1\end{vmatrix}}=1,\quad \mathrm {det} ({\mathsf {R}})={\begin{vmatrix}-1&0&0\\0&1&-1\\1&2&-3\end{vmatrix}}=1$

Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und ist regulär (invertierbar). Diese Eigenschaft lässt sich auch anhand ihrer Determinante feststellen. Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist bzw. keiner ihrer Eigenwerte null ist.

Seien im Folgenden $m,n,l\in \mathbb {N}$ .

$\operatorname {rang} (A)\leq \min\{m,n\}.$

Man sagt, dass die Matrix vollen Rang hat, wenn in dieser Ungleichung die Gleichheit gilt.

$\operatorname {rang} (A)=\operatorname {rang} (A^{T})\;.$

$\operatorname {rang} (A+B)\leq \operatorname {rang} (A)+\operatorname {rang} (B).$

$\operatorname {rang} (A)+\operatorname {rang} (B)-n\leq \operatorname {rang} (A\cdot B)\leq \min \left\{\operatorname {rang} (A),\operatorname {rang} (B)\right\}.$

$\dim V=\operatorname {rang} (f)+\operatorname {def} (f)\;.$

↑ Serge Lang: Algebra 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
↑ Falko Lorenz: Lineare Algebra I. 3. Auflage. Spektrum, Heidelberg 1992, ISBN 3-411-15193-5.
↑ R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2, S. 66.
↑ Thomas Steinfeld: Normalform einer Matrix. In: Mathepedia. Abgerufen am 26. November 2021.

Gerd Fischer: Lineare Algebra. 13. Auflage. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden 2002, ISBN 3-528-97217-3.