F2 lässt sich nicht mehr allgemein geschlossen darstellen.
Für gegebene y lässt es sich geschlossen darstellen, wobei die Ausdrücke schnell längere Ausdrücke werden.
| y \ x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7
|
| 0
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7
|
| x
|
| 1
|
F1 (F2(0, 0),
F2(0, 0)+1)
|
F1 (F2(1, 0),
F2(1, 0)+1)
|
F1 (F2(2, 0),
F2(2, 0)+1)
|
F1 (F2(3, 0),
F2(3, 0)+1)
|
F1 (F2(4, 0),
F2(4, 0)+1)
|
F1 (F2(5, 0),
F2(5, 0)+1)
|
F1 (F2(6, 0),
F2(6, 0)+1)
|
F1 (F2(7, 0),
F2(7, 0)+1)
|
| F1(0, 1)
|
F1(1, 2)
|
F1(2, 3)
|
F1(3, 4)
|
F1(4, 5)
|
F1(5, 6)
|
F1(6, 7)
|
F1(7, 8)
|
| 1 |
8 |
27 |
74 |
185 |
440 |
1015 |
2284
|
2x+1 · (x + 2) − x − 3
≈ 10lg 2·(x+1) + lg(x+2)
|
| 2
|
F1 (F2(0, 1),
F2(0, 1)+2)
|
F1 (F2(1, 1),
F2(1, 1)+2)
|
F1 (F2(2, 1),
F2(2, 1)+2)
|
F1 (F2(3, 1),
F2(3, 1)+2)
|
F1 (F2(4, 1),
F2(4, 1)+2)
|
F1 (F2(5, 1),
F2(5, 1)+2)
|
F1 (F2(6, 1),
F2(6, 1)+2)
|
F1 (F2(7, 1),
F2(7, 1)+2)
|
| F1(1, 3)
|
F1(8, 10)
|
F1(27, 29)
|
F1(74, 76)
|
F1(185, 187)
|
F1(440, 442)
|
F1(1015, 1017)
|
F1(2294, 2296)
|
| 19
|
10228
|
15569256417
|
≈ 5,742397643 · 1024
|
≈ 3,668181327 · 1058
|
≈ 5,019729940 · 10135
|
≈ 1,428323374 · 10309
|
≈ 3,356154368 · 10694
|
22x+1·(x+2) − x − 1 · (2x+1·(x+2) − x − 1) − (2x+1·(x+2) − x + 1)
≈ 10lg 2 · (2x+1·(x+2) − x − 1) + lg(2x+1·(x+2) − x − 1) ≈ 10lg 2 · 2x+1·(x+2) + lg(2x+1·(x+2)) ≈ 10lg 2 · (2x+1·(x+2)) = 1010lg lg 2 + lg 2·(x+1) + lg(x+2) ≈ 1010lg 2·(x+1) + lg(x+2)
|
| 3
|
F1 (F2(0, 2),
F2(0, 2)+3)
|
F1 (F2(1, 2),
F2(1, 2)+3)
|
F1 (F2(2, 2),
F2(2, 2)+3)
|
F1 (F2(3, 2),
F2(3, 2)+3)
|
F1 (F2(4, 2),
F2(4, 2)+3)
|
F1 (F2(5, 2),
F2(5, 2)+3)
|
F1 (F2(6, 2),
F2(6, 2)+3)
|
F1 (F2(7, 2),
F2(7, 2)+3)
|
F1(F1(1,3),
F1(1,3)+3)
|
F1(F1(8,10),
F1(8,10)+3)
|
F1(F1(27,29),
F1(27,29)+3)
|
F1(F1(74,76),
F1(74,76)+3)
|
F1(F1(185,187),
F1(185,187)+3)
|
F1(F1(440,442),
F1(440,442)+3)
|
F1(F1(1015,1017),
F1(1015,1017)+3)
|
F1(F1(2294,2297),
F1(2294,2297)+3)
|
| F1(19, 22)
|
F1(10228, 10231)
|
F1(15569256417,
15569256420)
|
F1(≈6·1024, ≈6·1024)
|
F1(≈4·1058, ≈4·1058)
|
F1(≈5·10135, ≈5·10135)
|
F1(≈10309, ≈10309)
|
F1(≈3·10694, ≈3·10694)
|
| 88080360
|
≈ 7,04 · 103083
|
≈ 7,82 · 104686813201
|
≈ 101,72·1024
|
≈ 101,10·1058
|
≈ 101,51·10135
|
≈ 104,30·10308
|
≈ 101,01·10694
|
| längerer Ausdruck, fängt mit 222x+1 an, ≈ 101010lg 2·(x+1) + lg(x+2)
|
| 4
|
F1 (F2(0, 3),
F2(0, 3)+4)
|
F1 (F2(1, 3),
F2(1, 3)+4)
|
F1 (F2(2, 3),
F2(2, 3)+4)
|
F1 (F2(3, 3),
F2(3, 3)+4)
|
F1 (F2(4, 3),
F2(4, 3)+4)
|
F1 (F2(5, 3),
F2(5, 3)+4)
|
F1 (F2(6, 3),
F2(6, 3)+4)
|
F1 (F2(7, 3),
F2(7, 3)+4)
|
F1 (F1(19, 22),
F1(19, 22)+4)
|
F1 (F1(10228,
10231),
F1(10228,
10231)+4)
|
F1 (F1(15569256417,
15569256420),
F1(15569256417,
15569256420)+4)
|
F1 (F1(≈5,74·1024, ≈5,74·1024),
F1(≈5,74·1024, ≈5,74·1024))
|
F1 (F1(≈3,67·1058, ≈3,67·1058),
F1(≈3,67·1058, ≈3,67·1058))
|
F1 (F1(≈5,02·10135, ≈5,02·10135),
F1(≈5,02·10135, ≈5,02·10135))
|
F1 (F1(≈1,43·10309, ≈1,43·10309),
F1(≈1,43·10309, ≈1,43·10309))
|
F1 (F1(≈3,36·10694, ≈3,36·10694),
F1(≈3,36·10694, ≈3,36·10694))
|
F1(88080360,
88080364) |
F1(10230·210231−10233,
10230·210231−10229) |
|
| ≈ 3,5 · 1026514839 |
|
| noch längerer Ausdruck, fängt mit 2222x+1 an, ≈ 10101010lg 2·(x+1) + lg(x+2)
|
F3 lässt sich nicht mehr geschlossen darstellen.
| y \ x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4
|
| 0
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4
|
| x
|
| 1
|
F2 (F3(0, 0),
F3(0, 0)+1)
|
F2 (F3(1, 0),
F3(1, 0)+1)
|
F2 (F3(2, 0),
F3(2, 0)+1)
|
F2 (F3(3, 0),
F3(3, 0)+1)
|
F2 (F3(4, 0),
F3(4, 0)+1)
|
| F2(0, 1)
|
F2(1, 2)
|
F2(2, 3)
|
F2(3, 4)
|
F2(4, 5)
|
| 1
|
10228
|
≈ 7,82 · 104686813201
|
|
| keine geschlossenen Ausdrücke im Rahmen normaler mathematischer Notation möglich
|
| 2
|
F3 (F4(0, 1),
F4(0, 1)+2)
|
F3 (F4(1, 1),
F4(1, 1)+2)
|
F3 (F4(2, 1),
F4(2, 1)+2)
|
F3 (F4(3, 1),
F4(3, 1)+2)
|
F3 (F4(4, 1),
F4(4, 1)+2)
|
| F3 (1, 3)
|
F3 (10228, 10230)
|
F3 (≈104686813201,
≈104686813201)
|
|
|
|
| keine geschlossenen Ausdrücke im Rahmen normaler mathematischer Notation möglich
|