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Teilmenge – Wikipedia

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Die mathematischen Begriffe Teilmenge und Obermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei Mengen. Ein anderes Wort für Teilmenge ist Untermenge.

Für die mathematische Abbildung der Einbettung einer Teilmenge in ihre Grundmenge, die mathematische Funktion der Teilmengenbeziehung, wird die Inklusionsabbildung verwendet. $A$ ist eine Teilmenge von $B$ und $B$ ist eine Obermenge von $A$ , wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ enthalten ist. Wenn $B$ zudem weitere Elemente enthält, die nicht in $A$ enthalten sind, so ist $A$ eine echte Teilmenge von $B$ und $B$ ist eine echte Obermenge von $A$ . Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge $A$ heißt die Potenzmenge von $A$ .

Den Begriff Teilmenge prägte Georg Cantor – der „Erfinder“ der Mengenlehre – ab 1884; das Symbol der Teilmengenrelation wurde von Ernst Schröder 1890 in seiner „Algebra der Logik“ eingeführt.^[1]

Wenn $A$ und $B$ Mengen sind und jedes Element von $A$ auch ein Element von $B$ ist, nennt man $A$ eine Teilmenge oder Untermenge von $B$ :^[2]

$A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A\colon x\in B$

Umgekehrt nennt man $B$ die Obermenge von $A$ genau dann, wenn $A$ Teilmenge von $B$ ist:

$B\supseteq A:\Longleftrightarrow A\subseteq B$

Weiterhin gibt es den Begriff der echten Teilmenge. $A$ ist eine echte Teilmenge von $B$ genau dann, wenn $A$ eine Teilmenge von $B$ und $A$ nicht identisch mit $B$ ist.

$A\subsetneq B:\Longleftrightarrow A\subseteq B\land A\neq B$

Wieder schreibt man auch $B\supsetneq A$ , wenn $A\subsetneq B$ .

⊂⊊⊆⊇⊋⊃

Einige Autoren benutzen auch die Zeichen $\subset$ und $\supset$ für Teilmenge und Obermenge anstatt $\subseteq$ und $\supseteq$ .^[3]^[4] Meistens definiert der Autor dann den Begriff „echte Teilmenge“ nicht.

Andere Autoren bevorzugen die Zeichen $\subset$ und $\supset$ für echte Teilmenge und Obermenge also statt $\subsetneq$ und $\supsetneq$ .^[1] Dieser Gebrauch erinnert passenderweise an die Zeichen für Ungleichheit $\leq$ und $<$ . Da diese Notation meistens benutzt wird, wenn der Unterschied zwischen echter und nicht echter Teilmenge wichtig ist, werden die Zeichen $\subsetneq$ und $\supsetneq$ eher selten benutzt.

Varianten des Zeichens $\subsetneq$ sind außerdem $\varsubsetneq$ , $\subsetneqq$ und $\varsubsetneqq$ . Falls $A$ keine Teilmenge von $B$ ist, kann auch $A\nsubseteq B:\Longleftrightarrow \lnot \left(A\subseteq B\right)$ benutzt werden. Entsprechende Schreibweisen sind $\varsupsetneq$ für $\supsetneq$ , $\supsetneqq$ und $\varsupsetneqq$ für $\supsetneq$ , sowie $A\nsupseteq B$ (keine Obermenge).

Die entsprechenden Unicode-Symbole sind: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋ (siehe: Unicode-Block Mathematische Operatoren).

Statt „ $A$ ist eine Teilmenge von $B$ “ wird auch „Die Menge $A$ ist in der Menge $B$ enthalten“ oder „Die Menge $A$ wird von $B$ umfasst“ gesagt. Genauso wird statt „ $B$ ist eine Obermenge von $A$ “ auch „Die Menge $B$ enthält die Menge $A$ “ oder „Die Menge $B$ umfasst die Menge $A$ “ gesagt. Wenn es nicht zu Missverständnissen kommen kann, wird auch „ $B$ enthält $A$ “ usw. gesagt. Missverständnisse können insbesondere mit „Die Menge $B$ enthält das Element $A$ “ entstehen.

{1, 2} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3} ist eine (unechte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3, 4} ist keine Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3} ist keine Teilmenge von {2, 3, 4}.
{} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2}.
{1, 2, 3} ist eine (echte) Obermenge von {1, 2}.
{1, 2} ist eine (unechte) Obermenge von {1, 2}.
{1} ist keine Obermenge von {1, 2}.
Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen.

Weitere Beispiele als Mengendiagramme:

A ist eine echte Teilmenge von B
C ist zwar eine Teilmenge von B, aber keine echte Teilmenge von B

Die Inklusion als Beziehung zwischen Mengen erfüllt die drei Eigenschaften einer partiellen Ordnungsrelation, sie ist nämlich reflexiv, antisymmetrisch und transitiv:

$A\subseteq A$

$A\subseteq B\subseteq A\Rightarrow A=B$

$A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$

(Dabei ist $A\subseteq B\subseteq C$ eine Kurzschreibweise für $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ .)

Ist also $M\,$ eine Menge von Mengen (ein Mengensystem), dann ist $(M,\subseteq )$ eine Halbordnung. Insbesondere gilt dies für die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer gegebenen Menge $X$ .

Ist $M\,$ ein Mengensystem, so dass von je zwei der in $M\,$ vorkommenden Mengen die eine die andere umfasst oder von der anderen umfasst wird, so nennt man ein solches Mengensystem eine Inklusionskette. Ein Beispiel hierfür liefert das System $\{{]{-\infty ,x}[}\mid x\in \mathbb {R} \}$ der linksseitig unbeschränkten offenen Intervalle von $\mathbb {R}$ .

Ein spezieller Fall einer Inklusionskette liegt vor, wenn eine (endliche oder unendliche) Mengenfolge gegeben ist, welche vermöge $\subseteq$ aufsteigend oder vermöge $\supseteq$ absteigend angeordnet ist. Man schreibt dann kurz:

$A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \ ...$

$A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \ ...$

Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5.
John L. Kelley: General Topology. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint der Edition bei Van Nostrand aus dem Jahre 1955).

↑ ^a ^b Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, S. 33 (Auszug (Google)).
↑ Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre: Eine Elementare Einführung in das Reich des Unendlichgrossen. 2. Auflage. Springer, 2013, ISBN 9783662259009, S. 15.
↑ Set theory. In: Encyclopedia of Mathematics.
↑ Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.