dxdy.ru

Функциональный анализ доказательство теоремы : Анализ-II

  • ️Wed Dec 12 2012

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве теоремы:

Если $f \in L(E)$, то $|f| \in L(E) $ и $|$\int f(x) dx$| \leq $\int |f| dx$$

Доказательство из Курса математического анализа том 2 Никольского С.М.

:
Пусть $E' \subset E$, $\mu E' = \mu E$ - множество, на котором f конечна. На нем можно определить, как мы знаем, неотрицательные функции $f_+,f_- \in L(E')$, для которых верно:
$|f(x)| = f_+(x) + f_-(x)$, $f(x) = f_+(x) + f_-(x)$[/c]

Отсюда $|f| \in L(E')$, следовательно, также $|f| \in L(E)$. Кроме того, выполняются равенства:

$$\int_{E'} |f| dx= \int_{E'} f_+ dx + \int_{E'} f_- dx$$, $$\int_{E'} f dx =\int_{E'} f_+ dx - \int_{E'} f_- dx$$

из которых, если учесть, что интегралы от $f_+$ и $f_-$ суть не отрицательные числа, непосредственно следует исходное неравенство с $E'$ вместо $E$, но тогда это неравенство верно и для $E$.

А теперь вопросы:
Почему мы можем определить $f_+,f_- $ так чтобы они были интегрируемы? Что здесь означает "конечная функция"? И почему мы можем сказать, что если неравенство выполняется для $E' \subset E$, то выполняется и для $E$?

P.S. $$ f_+=\begin{cases} f(x),&\text{если $x\geqslant0$;}\\ 0,&\text{если $x<0$;} \end{cases} $$$$f_-=\begin{cases} f(x),&\text{если $x<0$;}\\ 0,&\text{если $x\geqslant0$;} \end{cases} $$

-- 12.12.2012, 21:05 --

UPD "конечная функция": $f$ конечная на $E$, т.е. приводит в соответствие каждой точке $x \in E$ конечное число.