dxdy.ru

K+K = [0,2] : Помогите решить / разобраться (М)

️Fri Jan 19 2024

Условие: Покажите что сумма двух канторовых множеств равна $[0,2]$
Решение: Мы знаем что $K\sim2^\mathbb{N}$ , т.е. что бесконечной последовательности нулей и единиц можно однозначно сопоставить элемент из $K$ переходя на лево на нуле и направо на единице. Можно записать $k\in K$ следующим образом $2\cdot(1/3)\cdot a_1 + 2\cdot(1/3)^2\cdot a_2+...+ 2\cdot(1/3)^n\cdot a_n +...$ , где $a_i\in \left\lbrace0,1\right\rbrace$ - это координата левого конца отрезка, но т.к. отрезки стягиваются и имеют только одну общую точку $k$ , значит эта сумма стремится к $k$ . Теперь запишем $k_1 + k_2$ следующим образом: $$2\cdot(1/3)\cdot b_1 + 2\cdot(1/3)^2\cdot b_2+...+ 2\cdot(1/3)^n\cdot b_n +...=$2\cdot((1/3)\cdot b_1 + (1/3)^2\cdot b_2+...+ (1/3)^n\cdot b_n +...)$ , где $b_i\in \left\lbrace0,1,2\right\rbrace$ , тогда $(1/3)\cdot b_1 + (1/3)^2\cdot b_2+...+ (1/3)^n\cdot b_n +...$ это запись числа из [0,1] в троичной системе. Т.к. мы получим все возможные бесконечные последовательности $0,1,2$ из поразрядных сумм двух бесконечных последовательностей $0,1$ , то и $(1/3)\cdot b_1 + (1/3)^2\cdot b_2+...+ (1/3)^n\cdot b_n +...$ будет принимать все значения из $[0,1]$ , при умножение на два получим $[0,2]$