dxdy.ru

Экзотические группы : Помогите решить / разобраться (М)

  • ️Thu May 23 2019

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное




 

Экзотические группы

Сообщение17.02.2025, 23:32 
Заслуженный участник

23/05/19
1303

Во вводных учебниках по теории групп часто дают упражнения такого типа: на вещественных числах как-то нестандартно определяется операция умножения, затем просят доказать, что некоторое подмножество $\mathbb{R}$ образует группу. Например

Цитата:

Пусть G - множество ненулевых вещественных чисел с операцией $x\cdot y = x+y+1$. Доказать, что G изоморфно $\mathbb{R}$.

Цитата:

Доказать, что множество $\{x\in \mathbb{R}:x\ne -1\}$ с операцией $x\cdot y = x+y+xy$ образует абелеву группу.

и т.д. Вопрос: есть ли какие-то содержательные задачи, которые могут приводить к группам с операциями такого типа? Или это просто учебные упражнения на оттачивание техники?

Профиль  
mihaild 

Re: Экзотические группы

Сообщение17.02.2025, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя

16/07/14
9417
Цюрих

Не совсем такое, но близкое: если в качестве сложения и умножения взять $\min$ и сложение (понятно что это уже не кольцо, но коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность сохраняются), то матрица расстояний в графе равна $n$-й (или любой более высокой) степени матрицы весов.

Профиль  
dgwuqtj 

Re: Экзотические группы

Сообщение18.02.2025, 01:40 
Заслуженный участник

07/08/23
1352

Если в любой группе $(G, \cdot)$ взять новую операцию $x * y = x \cdot a \cdot y$ для какого-то элемента $a$, то получится группа, изоморфная исходной, это не очень интересно. Но других контекстах (лупы Муфанг, полугруппы, ассоциативные кольца, альтернативные кольца) такая процедура нетривиальна, называется гомотопом и иногда полезна.

Что касается $x + y + x y$, то это же просто сдвиг обычной группы по умножению, чтобы $1$ попал в $0$. Так удобно делать при работе с алгеброй Ли какой-то группы Ли, например. А ещё в такой записи на это можно смотреть как на формальный групповой закон.

Профиль  
B@R5uk 

 Re: Экзотические группы

Сообщение18.02.2025, 02:20 

Аватара пользователя

26/05/12
1755
приходит весна?

взять новую операцию $x * y = x \cdot a \cdot y$ для какого-то элемента $a$, то получится группа, изоморфная исходной, это не очень интересно.

Именно изоморфизм, не автоморфизм? Потому что я тут поигрался с $C_3$ и $a=1$ и нейтральным стал судя по всему элемент 2. В группе Клейна нейтральным становится сам элемент a

. Как-то это не правильно. Кому нужно отображение группы, не сохраняющее нейтральный элемент? Это кажется даже изоморфизмом не является.

Профиль  
dgwuqtj 

 Re: Экзотические группы

Сообщение18.02.2025, 09:53 
Заслуженный участник

07/08/23
1352

Возьмём конкретное отображение $f \colon G \to G,\, g \mapsto a \cdot g$, оно взаимно-однозначно и $f(x * y) = f(x) \cdot f(y)$. Но тут нужны и ассоциативность, и обратимость $a$. Автоморфизмом оно, конечно, не будет, групповые структуры же разные.

Кому нужно отображение группы, не сохраняющее нейтральный элемент?

Для групп оно не очень нужно. А так возьмём алгебру октонионов $O$. У неё группа автоморфизмов — это исключительная компактная руппа Ли $G_2$, а группа автотопий (линейных отображений в себя, которые примерно так модифицируют умножение) — $\mathrm{SO}(8)$. Если теперь в качестве автотопий рассматривать тройки отображений $(f, g, h)$ со свойством $f(x y) = g(x) h(y)$, а не только компоненту $f$, то получается уже $\mathrm{Spin}(8)$ и из этой конструкции легко получить тройственность, т.е. явно предъявить представителей группы внешних автоморфизмов $\mathrm S_3$ спинорной группы. Причём над конечными полями это тоже работает, даже вообще над всеми коммутативными кольцами и всеми композиционными алгебрами ранга $8$.

-- 18.02.2025, 09:58 --

Ещё есть груды, это алгебраические структуры, полученные забыванием единицы в группе, с операцией $(x, y, z) \mapsto x y^{-1} z$. Они не очень интересны, но, например, смежные классы в группе по всем её подгруппам (хоть левые, хоть правые) — это в точности непустые подгруды. И в груде операция левого сдвига $x \mapsto g x$ будет автоморфизмом.

Профиль  
Dedekind 

 Re: Экзотические группы

Сообщение20.02.2025, 11:24 
Заслуженный участник

23/05/19
1303

Спасибо всем ответившим! Все это пока за пределами моего понимания, но на будущее записал:)

-- 20.02.2025, 10:25 --

матрица расстояний в графе равна $n$-й (или любой более высокой) степени матрицы весов

Кстати, можете, пожалуйста, посоветовать что-то для начального знакомства с графами?

Профиль  
mihaild 

Re: Экзотические группы

Сообщение20.02.2025, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя

16/07/14
9417
Цюрих

Кстати, можете, пожалуйста, посоветовать что-то для начального знакомства с графами?

В какую примерно сторону?
Про алгоритмы на графах - Дасгупта, "Алгоритмы", или Кнут. Про некоторые свойства покрытий, раскрасок и т.д. - Чашкин, "Дискретная математика". А дальше куча всего.

Профиль  
Anton_Peplov 

Re: Экзотические группы

Сообщение20.02.2025, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя

20/08/14
8816

Кстати, можете, пожалуйста, посоветовать что-то для начального знакомства с графами?

Вопрос был не ко мне, но все же осмелюсь порекомендовать: Белов, Воробьев, Шаталов. Теория графов

. Всего понемногу: алгоритмы, топологические инварианты, раскраски и т.д. Изложение математически строгое, все определения в конечном счете сводятся к теории множеств. Правда, как следствие, язык довольно тяжелый. Еще небольшой минус: стремление к максимальной общности заставляет авторов выбрать не самую удобную, на мой взгляд, терминологию, когда граф, мультиграф и ориентированный граф - синонимы.

Есть еще хороший учебник по применению графов в теории коллективных решений (паросочетания, теорема Эрроу и вот это все). Алексеров, Хабина, Шварц. Бинарные отношения, графы и коллективные решения.

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения