dxdy.ru

Проблема тождества слов в конечной группе. : Помогите решить / разобраться (М) - Страница 3

️Sat May 26 2012

Появилась идея как обобщить эту конструкцию. Рассмотрим соотношения
$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n$
Тогда $s_2^{n^n - 1} = I$ , $s_3^{n^{n^n - 1} - 1} = I$ .

Не смотря на то, что группа получается бесконечная, идея стоит рассмотрения. Я тут поигрался с группой $G=\Bigl\langle\;a,\;b,\;\bigl|\bigr{}\;a^2=I,\;b^a=b^2,\;c^b=c^2\;\Bigr\rangle$ добавляя к ней различные соотношения. Это фактически является нахождением фактор-группы (которая получается конечной) по некоторой (бесконечной) нормальной подгруппе группы G

. Получилось вот что (нижним индексом указан порядок): $G_{168}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^3=I\;\Bigr\rangle\simeq\mathrm{PSL}\bigl(2,\;7\bigr)$ $G_{1008}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^4=I\;\Bigr\rangle$ $G_{1008}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(acac^2)^2=I\;\Bigr\rangle$ $G_{2520}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^5=(ac^2)^7=I\;\Bigr\rangle$ $G_{2520}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^7=(ac^2)^5=I\;\Bigr\rangle$ Структуру групп не изучал, так что группы с одинаковыми порядками тут могут оказаться не изоморфными.

Интересно, что элемент ac

группы G

после проекции в фактор-группу может иметь порядки 3, 4, 5 и 7, где порядок 5 является в некотором смысле "неожиданным" (не является делителем произведения порядков из формул выше). В связи с этим встаёт вопрос, а какие ещё порядки может иметь этот элемент?

-- 18.02.2025, 13:51 --

Ещё вот такая группа оказалась конечной: $G_{1092}=\Bigl\langle\;a,\;b,\;\bigl|\bigr{}\;a^2=I,\;b^a=b^2,\;c^b=c^3,\;(ac)^3=(ac^2)^{13}=I\;\Bigr\rangle$ и имеет 7 в качестве "неожиданного" делителя порядка. Ко всему прочему она ещё является простой.