О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b] : Анализ-II

Добрый день!

Возникла пара вопросов, связанных с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в . Далее буду ссылаться на Колмогорова, Фомина.

По теореме Хана-Банаха мы продолжаем функционал на пространство ограниченных функций с сохранением нормы. Затем вводим семейство функций ,
Затем определяем функцию . Дальше показываем, что она имеет ограниченное изменение... Собственно, по доказательству нет никаких вопросов, а, как выяснилось, есть вопросы по замечанию после доказательства.

Колмогоров и Фомин пишут, что для любого функционала на введенная функция является непрерывной справа всюду на . И вот тут я понял, что не могу это обосновать. Во-первых, не понимаю, почему непрерывность именно справа. Во-вторых, как понимать непрерывность справа в точке ? Склоняюсь к мысли, что опечатка и надо выкинуть. И, в-третьих, как формально обосновать эту непрерывность? Хочется по определению, с учетом непрерывности функционала , но наталкиваюсь на то, что норма разности любых двух различных функций семейства равна единице (здесь норма -- супремум модуля разности). Может, я не вижу чего-то очевидного?

По теореме Хана-Банаха мы продолжаем функционал на пространство ограниченных функций с сохранением нормы.

Я думаю, что вся проблема сидит вот в этой постановке вопроса. С помощью теоремы Хана-Банаха можно много всяких разных продолжений получить
А вот если мы будем продолжать функционал так как это обычно делается в теории меры (см Лоран Шварц Анализ или Эдвардс "Функциональный анализ") тогда вот это утверждение

для любого функционала на введенная функция является непрерывной справа

является тривиальным следствием стандартных теорем

Именно, что тут речь идет просто о некоем продолжении, без конкретики. Дальше, цитирую:

Цитата:

Заметим, наконец, что для любого функционала на соответствующая функция , определяемая равенством (17), есть функция именно из

Равенство (17) здесь -- это как раз , а -- это множество функций ограниченной вариации, обращающихся в 0 в точке и непрерывных справа всюду на интервале (или полуинтервале).

Вот я и пытался угадать, как только из рассматриваемых в доказательстве построений следует процитированное утверждение. Сделал вывод, что никак, ну а оказалось, что не очень-то и надо. Авторы, видимо, сочли, что в контексте разговора о классах эквивалентности, грамотный человек поймет их утверждение сразу, как надо, а не будет сидеть тупить пол дня, пытаясь формально его по определению обосновать (это я про себя)).

но мы можем переопределить в точках разрыва (коих, в силу монотонности, не более, чем счетное число)

вообще-то не можем, мера даже одной единственной точки необязана рвавняться нулю, возмите ,например, функцию

Да, это ужас с этим Стилтьесом. Тут ещё нюанса, что норму функционала, через вариацию функции, которая соответствует функционалу, не представить. Хотя попадается, что мол норма равна полной вариации. %) С мерами другое дело...

(Оффтоп)

ну ещё и нюанс, как в анекдоте, как меру строить по ф. р., какие полуинтервал брать.

Тут ещё нюанса, что норму функционала, через вариацию функции, которая соответствует функционалу, не представить.

Объясните, что Вы имеете в виду. А то теорема, коей посвящена данная тема, именно это и утверждает - что норма равна вариации.

а при чем тут интеграл Римана-Стилтьеса?

Как при чем? Мы получили общий вид функционала на , как интеграл Римана-Стилтьеса. Теперь можем построенную функцию ограниченной вариации переопределить в рамках дозволенного. От этого интеграл не поменяется.

Как я понимаю, можно вообще непрерывности справа-слева не требовать, а переопределять как угодно. Главное условие -- переопределить так, чтобы переопределенное значение находилось в пределах скачка, иначе оценка нормы снизу испортится.. А непрерывность справа -- ну может быть, это просто некое соглашение, для универсальности, чтобы норму можно было считать через вариацию каждый раз однотипно.

Но может быть, я чего-то не понимаю..

что норма равна вариации.

меры.
Ну если Стилтьеса интеграл брать от непрерывной функции по функции тождественно равной нулю и по функции вроде бы результат один. А вариация у второй равна двум. Или я ошибся?

если мы будем продолжать функционал не абы как, а стандартно, то там сразу становится ясно, откуда берется непрерывность справа и почему она именно справа

Ок, попробую осилить Эдвардса (вот это труд!!) В любом случае, мое рассуждение вроде бы (вроде бы) ничего не испортит (а в лучшем случае, просто ничего не изменит))