Метод малых параметров в уравнении Рейнольдса : Помогите решить / разобраться (М)
- ️Mon May 05 2014
Всем привет!
Возникла такая задача. Есть уравнение Рейнольдса, описывающее гидродинамику смазки в подшипнике скольжения:
У него в правой части есть слагаемое с тригонометрией, оно учитывает динамику вала в подшипнике. Без этого слагаемого будет статический случай. Далее мы задаем, согласно методу малых параметров, малые возмущения для толщины масляной пленки и для давления:
После подстановки этих выражений в уравнение, в источнике, где я это смотрел, получены выражения:
![$$\left[ \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( H^3 \frac{\partial}{\partial \varphi} \right) + \alpha^2 \frac{\partial}{\partial Z} \left( H^3 \frac{\partial}{\partial Z} \right) \right]
\begin{bmatrix}
P_0 \\
P_x \\
P_y \\
P_x' \\
P_y'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 \frac{\partial H_0}{\partial \varphi} \\
3 \left( \cos \varphi - 3 \frac{\sin \varphi}{H_0} \frac{\partial H_0}{\partial \varphi} \right) - 3 H_0^3 \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{\sin \varphi}{H_0} \right)\frac{\partial P_0}{\partial \varphi} \\
-3 \left( \sin \varphi + 3 \frac{\cos \varphi}{H_0} \frac{\partial H_0}{\partial \varphi} \right) - 3 H_0^3 \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{\cos \varphi}{H_0} \right)\frac{\partial P_0}{\partial \varphi} \\
6 \sin \varphi \\
6 \cos \varphi
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61ea1d9f2b0659d4fad1345d0ab2d85b82.png "$$\left[ \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( H^3 \frac{\partial}{\partial \varphi} \right) + \alpha^2 \frac{\partial}{\partial Z} \left( H^3 \frac{\partial}{\partial Z} \right) \right]
\begin{bmatrix}
P_0 \\
P_x \\
P_y \\
P_x' \\
P_y'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 \frac{\partial H_0}{\partial \varphi} \\
3 \left( \cos \varphi - 3 \frac{\sin \varphi}{H_0} \frac{\partial H_0}{\partial \varphi} \right) - 3 H_0^3 \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{\sin \varphi}{H_0} \right)\frac{\partial P_0}{\partial \varphi} \\
-3 \left( \sin \varphi + 3 \frac{\cos \varphi}{H_0} \frac{\partial H_0}{\partial \varphi} \right) - 3 H_0^3 \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{\cos \varphi}{H_0} \right)\frac{\partial P_0}{\partial \varphi} \\
6 \sin \varphi \\
6 \cos \varphi
\end{bmatrix}$$")
Задача в том, чтобы проверить корректность полученной коннстантной части справа. Пробовал напрямую подставлять малые возмущения вместо H и P в оператор и выделить линейную часть, но ничего близко к этим формулам не было. Все очевидно только с членом 
и 
, 
. Во 2 и 3 формулах H0 в заменателе, что наводил на мысли, а как оно там вообще оказалось?