dxdy.ru

Классическая задача на бифуркации. : Анализ-II - Страница 3

️Sun Oct 02 2011

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 15:00
10/02/11 6786	ничего этого не нужно, вообще ничего ,кроме приведеной потенциальной энергии не надо, чтобы понять где какие положения равновесия и нарисовать картинки, это когда трения нет. А в случае трения, тоже легко нарисовать фазовый портрет , просто из общих соображений.

unistudent	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 15:12
06/12/14 510	ничего этого не нужно, вообще ничего ,кроме приведеной потенциальной энергии не надо, чтобы понять где какие положения равновесия и нарисовать картинки, это когда трения нет. А в случае трения, тоже легко нарисовать фазовый портрет , просто из общих соображений. Нарисовать фазовый портрет из общих соображений - это как, от руки, ничего не решая? -- 07.04.2015, 15:16 -- А что здесь будет приведенной потенциальной энергией? Это как то связано с эффективным потенциалом?

Oleg Zubelevich	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 15:35
10/02/11 6786	приведеный потенциал и эффективная потенциальная энергия это одно и тоже -- Вт апр 07, 2015 15:37:05 -- Нарисовать фазовый портрет из общих соображений - это как, от руки, ничего не решая? да, сначала в случае, когда трения нет нарисовать график эффективной потенциальной энергии, под ним нарисовать фазовый портрет. потом нарисовать фазовый портрет для случая трения

Geen

Re: Классическая задача на бифуркации.

07.04.2015, 16:03

Заслуженный участник

01/09/13
4744

Совпадение лишь для случая $a=b$ , и то, с точностью до знака перед $ga$ .

Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз :-)

P.S. по той ссылке добавил ещё один параметр ("частоту вращения")

unistudent	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 16:07
06/12/14 510	Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз Тогда понятно. Эллипс, однако, многое должен поменять, или нет?

Geen

Re: Классическая задача на бифуркации.

07.04.2015, 16:53

Заслуженный участник

01/09/13
4744

Тогда понятно. Эллипс, однако, многое должен поменять, или нет?

Это вопрос анализа. ;-)

unistudent	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 17:04
06/12/14 510	Приведенной потенциальной энергией назовем ту часть полной энергии $E=\frac{1}{2}\left[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ 2mga(1+\cos\psi)\right],$ которая не содержит скоростей, т.е. $U(\psi)=\frac{1}{2}\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ mga(1+\cos\psi).$ Точками равновесия должны быть точки экстремумов ф-ии $U(\psi)$ , т.е. такие, что $\frac{dU}{d\psi}=-\left(\frac{M^2b^2\cos\psi}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}+ga\right)m\sin\psi=0.$ С этим ур-ем я уже сталкивался. Тут либо два корня, либо четыре. Оба случая описаны выше. Графиком $U(\psi)$ в случае четырех корней будет гладкая линия, симметричная относительно точки $\psi=\pi$ , с максимумами в точках $\psi=0,\pi$ и минимумами в точках $\psi=\pi \pm \Delta$ , где $\|\Delta\|<\pi/2$ . В случае 2х корней, в нуле будет минимум, а в $\pi$ максимум. Фазовыми траекториями будут семейства замкнутых линий -- 07.04.2015, 17:09 -- С трением должно быть немного сложнее. Точками равновесия, наверно, останутся те-же точки, но траекториями будут спирали. -- 07.04.2015, 17:12 -- А что происходит когда имеет место бифуркация? Появляется "странный аттрактор"?

unistudent	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 18:39
06/12/14 510	Более подробные фазовые портреты. Сверху случай без трения. Показаны траектории при разных значениях параметров. Снизу показаны по одной фазовой траектории для случаев 2 и 4 корня. Если корня два, то движение происходит по спирали с конечной остановкой в $\psi=\pi$ . Если корня четыре, то конечных станций две, и в какой именно произойдет остановка, зависит от начальных условий. В этом случае, наверно, можно говорить о двух областях влияния. В какую из областей попадает траектория, там и остановка.

Oleg Zubelevich	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 19:03
10/02/11 6786	на нижних картинках надо нарисовать правильно сепаратрисы

Geen

Re: Классическая задача на бифуркации.

07.04.2015, 19:03

Заслуженный участник

01/09/13
4744

Сверху случай без трения.

Не вполне верно. Во-первых разные расстояния должны быть. Во-вторых, разной высоты потенциальный барьер....

unistudent	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 19:21
06/12/14 510	на нижних картинках надо нарисовать правильно сепаратрисы Это можно сделать из общих соображений? -- 07.04.2015, 19:22 -- Не вполне верно. Во-первых разные расстояния должны быть. Во-вторых, разной высоты потенциальный барьер.... Какие расстояния, от чего до чего?

Geen

Re: Классическая задача на бифуркации.

07.04.2015, 20:23

Заслуженный участник

01/09/13
4744

Какие расстояния, от чего до чего?

У Вас фокусы стоят на $\pi/2$ - это неверно.

unistudent	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 20:33
06/12/14 510	Какие расстояния, от чего до чего? У Вас фокусы стоят на $\pi/2$ - это неверно. Я же написал, что $\psi=\pi\pm\Delta, \|\Delta\|<\pi/2$ . Но на картинке, действительно, как будто в $\pi/2$ . Ну а вообще, смахивает на то, что выдает ваша программа

Geen

Re: Классическая задача на бифуркации.

07.04.2015, 20:36

Заслуженный участник

01/09/13
4744

Но на картинке, действительно, как будто в $\pi/2$ .

Дело не столько в этом, а в том, что Вы потеряли класс траекторий, которые охватывают оба фокуса.

unistudent	Re: Классическая задача на бифуркации. 07.04.2015, 20:41
06/12/14 510	Вы потеряли класс траекторий, которые охватывают оба фокуса. У меня два сообщения с портретами. И ни на одном из них этих траекторий нет?

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы