el.wikipedia.org

Όμοιοι πίνακες - Βικιπαίδεια

Όμοιοι πίνακες

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην γραμμική άλγεβρα, δύο πίνακες {\displaystyle A}, {\displaystyle B} είναι όμοιοι αν υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας {\displaystyle P}, τέτοιος ώστε[1]:124[2]:58[3]:93

{\displaystyle A=P^{-1}BP}.

Απόδειξη  

Έστω {\displaystyle A} και {\displaystyle B} δύο όμοιοι πίνακες, τότε

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {det} (A)&=\operatorname {det} (P^{-1}BP)\\&=\operatorname {det} (P^{-1})\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (P)\\&=(\operatorname {det} (P))^{-1}\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (P)\\&=\operatorname {det} (A),\end{aligned}}}

χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των οριζουσών ότι {\displaystyle \operatorname {det} (XY)=\operatorname {det} (X)\cdot \operatorname {det} (Y)} και ότι {\displaystyle \operatorname {det} (X^{-1})=(\operatorname {det} (X))^{-1}} για αντιστρέψιμο πινακα {\displaystyle X}.

  • Δύο όμοιοι πίνακες έχουν ίσο ίχνος.[1]: 124 [2]: 59 [3]: 94 

Απόδειξη  

Έστω {\displaystyle A} και {\displaystyle B} δύο όμοιοι πίνακες, τότε

{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {det} (P^{-1}BP)=\operatorname {det} (BP^{-1}P)=\operatorname {det} (BI)=\operatorname {det} (B)},

χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του ίχνους ότι {\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (YX)}.

Απόδειξη  

{\displaystyle A^{T}=(P^{-1}BP)^{T}=P^{T}B^{T}(P^{-1})^{T}=P^{T}B^{T}(P^{T})^{-1}}.

Επομένως, είναι οι {\displaystyle A^{T}} και {\displaystyle B^{T}} είναι όμοιοι για {\displaystyle Q=(P^{T})^{-1}}.

Απόδειξη  

{\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=(P^{-1}BP)^{k}\\&=\underbrace {(P^{-1}BP)\cdot (P^{-1}BP)\cdot \ldots \cdot (P^{-1}BP)} _{k{\text{ φορές}}}\\&=\underbrace {P^{-1}B(PP^{-1})B(P\cdot \ldots \cdot P^{-1})BP} _{k{\text{ φορές}}}\\&=P^{-1}\underbrace {BIB\ldots BI} _{k{\text{ φορές}}}P=P^{-1}B^{k}P,\end{aligned}}}.

Επομένως, είναι οι {\displaystyle A^{k}} και {\displaystyle B^{k}} είναι όμοιοι πίνακες.

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Μυριτζής, Ιωάννης (2015). Δυναμικά συστήματα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας. «Ενότητα: Διαγωνιοποίηση γραμμικών τελεστών και πινάκων» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2022.
  4. ↑ 4,0 4,1 Παππάς, Δημήτρης. «Ομοιότητα Πινάκων» (PDF).