el.wikipedia.org

Αντίστροφος - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, αντίστροφος (ή συμμετρικό) ενός στοιχείου {\displaystyle x} του συνόλου {\displaystyle S} ως προς μία δυαδική πράξη {\displaystyle \bullet :S\times S\to S} με ουδέτερο στοιχείο {\displaystyle e\in S}, είναι το στοιχείο {\displaystyle x'\in S} το οποίο ικανοποιεί[1]:21[2]:15-16

{\displaystyle x\bullet x'=x'\bullet x=e.}

Όταν το στοιχείο αυτό είναι μοναδικό συμβολίζεται ως {\displaystyle x^{-1}}.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που η πράξη είναι πρόσθεση {\displaystyle +}, τότε ο αντίστροφος λέγεται αντίθετος και συμβολίζεται ως {\displaystyle -x} και το ουδέτερο στοιχείο λέγεται μηδέν. Αντίστοιχα, όταν η πράξη είναι πολλαπλασιασμός {\displaystyle \cdot }, τότε ο αντίστροφος λέγεται πολλαπλασιαστικός αντίστροφος και το ουδέτερο στοιχείο μονάδα.[1]: 21 

  • Στους πραγματικούς αριθμούς με πράξη την πρόσθεση, εξ'ορισμού κάθε αριθμός έχει αντίθετο.[3]:22[1]: 16  Με πράξη τον πολλαπλασιασμό, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για {\displaystyle x=4} ο αντίστροφός του είναι {\displaystyle x^{-1}=0.25} καθώς {\displaystyle 4\cdot 0.25=1}.
  • Στους μιγαδικούς αριθμούς με πράξη την πρόσθεση, κάθε αριθμός έχει αντίθετο. Για παράδειγμα, για {\displaystyle x=1+3i} ο αντίθετός του είναι ο {\displaystyle -x=(-1)+(-3)i}, καθώς {\displaystyle 1+3i+(-1+(-3)i)=0}.[4]:23[5]:4 Με πράξη τον πολλαπλασιασμό, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για {\displaystyle x=1+3i} ο αντίστροφος είναι {\displaystyle x^{-1}=0.1-0.3i} καθώς {\displaystyle (1+3i)\cdot (0.1-0.3i)=0.1+0.3i-0.3i+0.9=1}.[4]: 23 [5]:5
  • Στην αριθμητική υπολοίπων, στο {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} με πράξη την πρόσθεση με υπόλοιπο {\displaystyle n}, ένας αριθμός {\displaystyle x\in \mathbb {Z} _{n}} έχει αντίθετο τον {\displaystyle n-x\in \mathbb {Z} _{n}}, καθώς {\displaystyle x+(n-x)=n\equiv 0{\pmod {n}}}. Με πράξη τον πολλαπλασιασμό με υπόλοιπο {\displaystyle n}, ένας αριθμός {\displaystyle x\in \mathbb {Z} _{n}} έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο ανν {\displaystyle \gcd(n,x)=1}.[6]:1[7]:19 Για παράδειγμα, για {\displaystyle n=10}, ο {\displaystyle x=3} έχει αντίστροφο τον {\displaystyle x^{-1}=7} καθώς {\displaystyle 3\cdot 7=21\equiv 1{\pmod {10}}}, ενώ ο {\displaystyle x=5} δεν έχει αντίστροφο.
  • Στον Ευκλείδειο χώρο {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} με πράξη την πρόσθεση διανυσμάτων, ο αντίθετος του {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})} είναι ο {\displaystyle -\mathbf {x} =(-x_{1},\ldots ,-x_{n})}, καθώς {\displaystyle \mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0} }.[8][5]: 69 
  • Πολλές αλγεβρικές δομές έχουν ως αξίωμα την ύπαρξη αντιστρόφου για κάθε στοιχείο του συνόλου τους. Τέτοιες αλγεβρικές δομές είναι για παράδειγμα, οι ομάδες, οι δακτύλιοι (στην πράξη της πρόσθεσης) και τα σώματα.

Έστω ένα σύνολο {\displaystyle S} και μία δυαδική πράξη {\displaystyle \bullet :S\times S\to S} με ουδέτερο στοιχείο {\displaystyle e\in S}. Ορίζονται οι πιο εξειδικευμένες έννοιες αντιστρόφων:[9]:21

Ο αντίστροφος είναι και δεξιός και αριστερός αντίστροφος.

  • Όλα τα παραδείγματα αντιστρόφων παραπάνω είναι και παραδείγματα δεξιών και αριστερών αντιστρόφων.
  • Οι επί συναρτήσεις έχουν αριστερό αντίστροφο ως προς την σύνθεση, αλλά όχι κατά ανάγκη δεξιό. Για παράδειγμα, η {\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{\alpha ,\beta \}} που ορίζεται ως εξής:
{\displaystyle f(1)=\alpha ,f(2)=\beta ,f(3)=\beta },
έχει δεξιό αντίστροφο την {\displaystyle g:\{\alpha ,\beta \}\to \{1,2,3\}}, που δίνεται από την
{\displaystyle g(\alpha )=1,g(\beta )=2},
καθώς {\displaystyle f(g(\alpha ))=f(1)=\alpha ,f(g(\beta ))=f(2)=\beta } και επομένως {\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{\{\alpha ,\beta \}}}, όπου {\displaystyle \mathrm {id} _{\{\alpha ,\beta \}}} η ταυτοτική συνάρτηση. Αλλά δεν έχει αριστερό αντίστροφο καθώς {\displaystyle f(2)=f(3)}.

Θεώρημα — Αν η πράξη {\displaystyle \bullet } ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, τότε αν για κάποιο στοιχείο {\displaystyle x} υπάρχει δεξιός και ο αριστερός αντίστροφος, τότε είναι το ίδιο στοιχείο και είναι και μοναδικό.[10]:43[9]: 21-22 

Απόδειξη  

Έστω {\displaystyle x_{R}} ο δεξιός και {\displaystyle x_{L}} ο αριστερός αντίστροφος ενός στοιχείου {\displaystyle x}. Από τον ορισμό του δεξιού αντίστροφου για το {\displaystyle x_{R}}, έχουμε ότι

{\displaystyle x\bullet x_{R}=e}.

Πολλαπλασιάζοντας αριστερά και τα δύο μέλη με {\displaystyle x_{L}}, έχουμε ότι

{\displaystyle x_{L}\bullet (x\bullet x_{R})=x_{L}\bullet e}.

Από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου {\displaystyle e}, έχουμε ότι

{\displaystyle x_{L}\bullet (x\bullet x_{R})=x_{L}}.

Από την προσεταιριστική ιδιότητα,

{\displaystyle (x_{L}\bullet x)\bullet x_{R}=x_{L}}.

Από την ιδιότητα του {\displaystyle x_{L}} ως αριστερού αντιστρόφου,

{\displaystyle e\bullet x_{R}=x_{L}}.

Τέλος, από την ιδιότητα του ουδέτερου στοιχείου,

{\displaystyle x_{R}=x_{L}},

και επομένως τα δύο στοιχεία είναι τα ίδια. Άρα υπάρχει αντίστροφος και αυτός είναι μοναδικός (καθώς κάθε αντίστροφος είναι και δεξιός/αριστερός αντίστροφος).

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Αλβανός, Παρασκευάς· Πουλάκης, Δημήτριος (2021). Επανάληψη στην Θεωρία Αριθμών: Συνοπτική θεωρία, Μεθοδολογία, Ασκήσεις. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-618-85370-3-3.
  2. ↑ Πνευματικός, Ν. Σ. (1979). Στοιχεία Αλγεβρικών Δομών δια τους μαθητάς των Λυκείων. Αθήνα.
  3. ↑ Ζυγκιρίδης, Θ. «Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
  4. ↑ 4,0 4,1 Μπεληγιαννης, Α. (2015). Μια εισαγωγή στη βασική άλγεβρα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-262-2.
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Σταματιάδης, Σ. (2022). «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Σημειώσεις Διαλέξεων» (PDF). Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 26 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
  6. ↑ Ζάχος, Σ.· Παγουρτζής, Ά. «Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία» (PDF). Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
  7. ↑ Στεφανίδης, Γεώργιος. «Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-Δυνάμεις» (PDF). Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2022.
  8. ↑ Χαραλαμπους, Χ.· Φωτιαδης, Α. (2015). Μια εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα στις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. σελ. 69. ISBN 978-960-603-273-8.
  9. ↑ 9,0 9,1 Γεωργιακάκης, Π.· Γεωργιακάκης, Μ. Άλγεβρα 5: Δομές, θεωρία, ασκήσεις. Αθήνα: Κύκλος & Αρκάδι.
  10. ↑ Fraleigh, John B. (2013). A first course in abstract algebra (7η έκδοση). Harlow, Essex: Pearson Education. ISBN 9781292037592.