el.wikipedia.org

Απόλυτη τιμή - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να θεωρηθεί η απόστασή του από το 0.

Η απόλυτη τιμή ή το απόλυτο ενός πραγματικού αριθμού είναι η τιμή του αριθμού χωρίς πρόσημο και δείχνει την απόσταση του αριθμού από το μηδέν ή το κέντρο των αξόνων (μιγαδικοί). Η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να βρεθεί και σε άλλες μαθηματικές δομές όπως στους δακτύλιους ή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Η έννοια "module" ως μονάδα μέτρησης στη γαλλική γλώσσα, αποδίδεται στον Jean-Robert Argand κυρίως για τους μιγαδικούς αριθμούς[1][2][3]. Η εισαγωγή του συμβολισμού |α| αποδίδεται στον Karl Weierstrass ο οποίος την πρωτοχρησιμοποίησε το 1841[4]. Άλλος, γνωστός κυρίως στην πληροφορική, συμβολισμός της απόλυτης τιμής ενός αριθμού a είναι ο abs(a).

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού α ή το απόλυτο α (το οποίο συμβολίζεται ως |α| δηλαδή ο αριθμός ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές) ορίζεται με τη συνάρτηση:

{\displaystyle |\alpha |={\begin{cases}\alpha &\gamma \iota \alpha \;\alpha \geqslant 0\\-\alpha &\gamma \iota \alpha \;\alpha <0.\end{cases}}}

Καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ισχύει επίσης και το:

Επίσης ισχύει:

Γεωμετρική αναπαράσταση απόστασης δύο σημείων.

Αν πάρουμε δύο αριθμούς τους {\displaystyle x_{1},x_{2}} η απόσταση μεταξύ τους είναι {\displaystyle d(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}. Το μέσο του τμήματος που ενώνει τους {\displaystyle x_{1},x_{2}} είναι το σημείο {\displaystyle x_{0}}το οποίο απέχει την ίδια απόσταση από τα δύο σημεία {\displaystyle x_{1},x_{2}}:{\displaystyle d(x_{0},x_{1})=d(x_{0},x_{2})\Rightarrow |x_{0}-x_{1}|=|x_{0}-x_{2}|} και τότε {\displaystyle x_{0}-x_{1}=x_{2}-x_{0}} αν {\displaystyle (x_{1}<x_{0}<x_{2})}. Το σημείο στην μέση ορίζεται ως {\displaystyle x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}} και αντιστοιχεί στο κέντρο του διαστήματος {\displaystyle [x_{1},x_{2}]}. Ο αριθμός {\displaystyle \rho ={\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}} λέγεται ακτίνα του διαστήματος {\displaystyle [x_{1},x_{2}]}.

Με βάση αυτά έχω: {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,\quad \rho >0\quad |x-x_{0}|<\rho } που γράφεται ως η απόσταση των δύο σημείων {\displaystyle d(x,x0)<\rho } δηλαδή {\displaystyle x_{0}-\rho <x<x_{0}+\rho } άρα {\displaystyle x\in (x_{0}-\rho ,x_{0}+\rho )\Leftrightarrow x_{0}-\rho <x<x_{0}+\rho }[5].

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού z είναι η απόσταση r του z από το κέντρο των συντεταγμένων.

Δεδομένου ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο, ο ορισμός, μέσω συνάρτησης, για τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί άμεσα να γενικευθεί στους μιγαδικούς αριθμούς.

Καθώς όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν , σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση (1), μπορούμε να ορίσουμε την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού

{\displaystyle z=x+iy,\,}

ως:

{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}
  1. ↑ Nahin
  2. ↑ O'Connor i Robertson
  3. ↑ functions.Wolfram.com
  4. ↑ Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, s. 25
  5. ↑ «Άλγεβρα (Α Γενικού Λυκείου - Γενικής Παιδείας): Ηλεκτρονικό Βιβλίο». ebooks.edu.gr. Ανακτήθηκε στις 15 Μαΐου 2017.