el.wikipedia.org

Ερμιτιανός πίνακας - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας $A$ με μιγαδικές τιμές λέγεται Ερμιτιανός αν είναι ίσος με τον Ερμιτιανό συζηγή του,^[1]^:192^[2]^:6^[3]^:8 δηλαδή αν $A=A^{H}$ , όπου

$(A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji},$

και ${\overline {z}}$ ο συζηγής του μιγαδικού αριθμού $z\in \mathbb {C}$ .

Η γενική μορφή ενός Ερμιτιανού πίνακα διαστάσεων $n\times n$ για $n=2,3,4$ , είναι η εξής:

$\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{{\overline {A}}_{12}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{{\overline {A}}_{12}}&\color {blue}{{\overline {A}}_{13}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{{\overline {A}}_{23}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{{\overline {A}}_{12}}&\color {blue}{{\overline {A}}_{13}}&\color {orange}{{\overline {A}}_{14}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{{\overline {A}}_{23}}&\color {purple}{{\overline {A}}_{24}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}&\color {magenta}{{\overline {A}}_{34}}\\\color {orange}{A_{14}}&\color {purple}{A_{24}}&\color {magenta}{A_{34}}&A_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4},$

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι συζυγή μεταξύ τους σε έναν Ερμιτιανό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου πρέπει να είναι πραγματικοί αριθμοί.

Η ονομασία είναι προς τιμήν του μαθηματικού Σαρλ Ερμίτ.

Μερικά παραδείγματα είναι τα εξής:

${\begin{bmatrix}2&\color {red}{3-i}\\\color {red}{3+i}&4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}4&\color {red}{0.7-0.2i}&\color {blue}{-6+2i}\\\color {red}{0.7+0.2i}&-6.1&\color {green}{-2.4-4i}\\\color {blue}{-6-2i}&\color {green}{-2.4+4i}&7.3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}9&\color {red}{6+i}&\color {blue}{0}&\color {orange}{2.3+7i}\\\color {red}{6-i}&3&\color {green}{-0.7-0.2i}&\color {purple}{2.2-0.5i}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7+0.2i}&0&\color {magenta}{3-2i}\\\color {orange}{2.3-7i}&\color {purple}{2.2+0.5i}&\color {magenta}{3+2i}&-2\end{bmatrix}}.$

Κάθε πραγματικός συμμετρικός πίνακας είναι Ερμιτιανός. Για παράδειγμα,

${\begin{bmatrix}5&\color {red}{7}\\\color {red}{7}&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{4.8}&-5.1&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{-6}&\color {green}{-3.4}&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-10&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7}&2&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{4.7}&\color {purple}{2.2}&\color {magenta}{3.5}&-5\end{bmatrix}}.$

Επομένως, και ο ταυτοτικός και ο μηδενικός πίνακας είναι Ερμιτιανοί.

Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου ενός Ερμιτιανού πίνακας είναι πραγματικοί αριθμοί. Επομένως, και το ίχνος ενός πίνακα είναι πραγματικός αριθμός.

Απόδειξη

Θέτοντας $i=j$ έχουμε ότι

$A_{ii}=(A^{H})_{ii}={\overline {A}}_{ii}$ ,

και επομένως $A_{ii}$ είναι πραγματικός αριθμός.

Η ορίζουσα ενός Ερμιτιανού πίνακα είναι πραγματικός αριθμός.^[1]^: 203

Απόδειξη

Από τον ορισμό της ορίζουσας, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {det} (A)=\mathrm {det} (A^{H})&=\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A}}_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot {\overline {A}}_{n\sigma (n)}\\&=\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&={\overline {\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&={\overline {\mathrm {det} (A)}},\end{aligned}}$

επομένως $\mathrm {det} (A)$ είναι πραγματικός αριθμός.

Το άθροισμα δύο Ερμιτιανών πινάκων είναι Ερμιτιανός.

Απόδειξη

Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή, έχουμε ότι

$(A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}=A+B$ .

Ο αντίστροφος ενός Ερμιτιανού πίνακα είναι Ερμιτιανός.

Απόδειξη

Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή, έχουμε ότι

$(A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}=A^{-1}$ .

Απόδειξη

$(\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} )^{H}=\mathbf {v} ^{H}A^{H}\mathbf {v} =\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v}$ .

$A=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbf {u} _{i}\mathbf {u} _{i}^{H}.$

↑ ^1,0 ^1,1 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.
↑ Μπούταλης, Ι. (2022). «Στοιχεία από την Θεωρία Πινάκων» (PDF). Δημοκριτειο Πανεπιστήμειο Θράκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022.
↑ Πολύζος, Σ.· Τσιώτας, Δ. «Σημειώσεις μαθηματικών» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περ. Ανάπτυξης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022.