el.wikipedia.org

Ευθύγραμμο τμήμα - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

{\displaystyle {\rm {AB}}} — Ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ με φορέα την ευθεία $\varepsilon$ .

Στην γεωμετρία, ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία μεταξύ δύο σημείων ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ μίας ευθείας $\varepsilon$ , καθώς και τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ .^[1]^:3-4

Η ευθεία $\varepsilon$ καλείται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ λέγονται άκρα του. Η ύπαρξη του ευθυγράμμου τμήματος μεταξύ οποιονδήποτε σημείων ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ προκύπτει από τα αξιώματα της γεωμετρίας.

Το μήκος ενός ευθυγράμμου σχήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των δύο άκρων.

Το μέσο ${\rm {M}}$ ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ , ονομάζεται το σημείο του εκείνο που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε ${\rm {MA}}={\rm {MB}}$ . Από τα αξιώματα προκύπτει ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων

${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$

${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$

${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$

Ας είναι ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα με φορείς $\varepsilon$ και $\delta$ αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις $\varepsilon$ και $\delta$ έτσι ώστε το ${\rm {A}}$ να συμπίπτει με το ${\rm {\Gamma }}$ .

Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων είναι σχέση ισοδυναμίας, δηλαδή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Ανακλαστική, δηλαδή ${\rm {AB}}={\rm {AB}}$

Συμμετρική, δηλαδή αν ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ τότε ισχύει και ${\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {AB}}$

Μεταβατική: αν ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {EZ}}$ τότε ισχύει και ${\rm {AB}}={\rm {EZ}}$ .

Επίσης η σχέση ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ ή ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$ λέγεται σχέση ανισότητας. Στη σχέση αυτή ισχύει η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή αν ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {EZ}}$ τότε και ${\rm {AB}}>{\rm {EZ}}$ .

Η σχέση ανισότητας είναι αντισυμμετρική (καθώς δεν μπορεί να ισχύει και ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$ αλλά και ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ ) και μη-ανακλαστική (καθώς δεν ισχύει ${\rm {AB}}<{\rm {AB}}$ ) και επομένως είναι μία σχέση γνήσιας διάταξης.

Έστω ${\rm {AB}}$ , ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία $\varepsilon$ παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα ${\rm {K\Lambda }}$ , ${\rm {\Lambda M}}$ τέτοια ώστε ${\rm {K\Lambda }}={\rm {AB}}$ και ${\rm {\Lambda M}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ . Τότε άθροισμα των ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {KM}}$ και θα γράφουμε ${\rm {KM}}={\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}$ .

Το άθροισμα περισσοτέρων από δύο ευθυγράμμων τμημάτων, ορίζεται επαγωγικά μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

Έστω ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία $\varepsilon$ παίρνουμε τα ${\rm {K\Delta }}={\rm {AB}}$ και ${\rm {KM}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ με το σημείο ${\rm {M}}$ να κείται στο εσωτερικό του ${\rm {K\Lambda }}$ . Τότε διαφορά του ${\rm {\Gamma \Delta }}$ από το ${\rm {AB}}$ θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {M\Lambda }}$ και θα γράφουμε ${\rm {M\Lambda }}={\rm {AB}}-{\rm {\Gamma \Delta }}$ .

Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ επί ένα φυσικό αριθμό, έστω $3$ , λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Gamma }}$ που γίνεται από το ${\rm {AB}}$ αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή ${\rm {A\Gamma }}=3{\rm {AB}}$

$\mathrm {K} \Lambda =\underbrace {\mathrm {A} \mathrm {B} +\cdots +\mathrm {A} \mathrm {B} } _{\nu }$ ,

τότε λέμε ότι το ${\rm {K\Lambda }}$ είναι το $\nu$ -πλάσιο γινόμενο του ${\rm {AB}}$ και γράφουμε $\mathrm {K} \Lambda =\nu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B}$ , καθώς και ότι το ${\rm {AB}}$ είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο του ${\rm {K\Lambda }}$ , και γράφουμε $\mathrm {A} \mathrm {B} ={\tfrac {1}{\nu }}\mathrm {K} \Lambda$ . Τέλος αν για μ φυσικό αριθμό είναι $\Gamma \Delta =\mu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B}$ τότε μπορούμε να γράψουμε $\Gamma \Delta ={\tfrac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda$ και το τμήμα ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ονομάζεται γινόμενο του ρητού αριθμού $\mu /\nu$ με το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {K\Lambda }}$ .

Με τη μέτρηση ενός ευθύγραμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {K\Lambda }}$ . Αν ισχύει ${\rm {AB}}={\tfrac {\mu }{\nu }}{\rm {K\Lambda }}$ , τότε λέμε ότι το μήκος του ${\rm {AB}}$ ως προς το ${\rm {K\Lambda }}$ είναι $\mu /\nu$ , ή ότι η απόσταση του ${\rm {A}}$ από το ${\rm {B}}$ είναι $\mu /\nu$ .

Το πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ δια ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Gamma }}$ που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το ${\rm {AB}}$ , όπου και θα ισχύει η σχέση ${\rm {A\Gamma }}={\rm {AB}}/3$ .

Για ένα ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ λέμε ότι το σημείο του ${\rm {M}}$ διαιρεί εσωτερικά το τμήμα σε λόγο ${\tfrac {\mu }{\nu }}$ αν^[2]^:162-163

${\frac {\rm {AM}}{\rm {BM}}}={\frac {\mu }{\nu }}$ .

Για ένα ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ λέμε ότι το σημείο ${\rm {N}}$ που ανήκει στον φορέα του αλλά όχι στο τμήμα, διαιρεί εξωτερικά το τμήμα σε λόγο ${\tfrac {\mu }{\nu }}$ αν

${\frac {\rm {AN}}{\rm {BN}}}={\frac {\mu }{\nu }}$ .

Για ένα δεδομένο τμήμα ${\rm {AB}}$ και έναν δεδομένο λόγο ${\tfrac {\mu }{\nu }}$ , τα σημεία ${\rm {M,N}}$ είναι μοναδικά.^[2]^: 162-163

Σε έναν πραγματικό (ή μιγαδικό) διανυσματικό χώρο $V$ , το (κλειστό) ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$ είναι το εξής σύνολο των σημείων

$\ell =\left\{\mathbf {a} +t\cdot \mathbf {b} :t\in [0,1]\right\}$ .

Το ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα, δεν περιέχει τα σημεία $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$ , και ορίζεται ως

$\ell =\left\{\mathbf {a} +t\cdot \mathbf {b} :t\in (0,1)\right\}$ .

Και στις δύο περιπτώσεις, το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των σημείων $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$ , δηλαδή

$|\ell |=|\mathbf {a} -\mathbf {b} |={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {a} _{i}-\mathbf {b} _{i})^{2}}}$ ,

όπου $n$ είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου.

Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Line segment στο Wikimedia Commons

↑ Πάμφιλος, Πάρις (2016). Γεωμετρικόν (PDF).
↑ ^2,0 ^2,1 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.