el.wikipedia.org

Κενό σύνολο - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην θεωρία συνόλων, το κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ως {\displaystyle \emptyset }, {\displaystyle \varnothing } ή {\displaystyle \{\}}. Σε πολλές από τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων (όπως η θεωρία Zermelo-Fraenkel), η ύπαρξη του κενού συνόλου είναι αξίωμα. Στη γλώσσα της λογικής πρώτου βαθμού, αυτό εκφράζεται ως[1][2][3]

{\displaystyle \exists S.\forall x.\neg (x\in S)},

δηλαδή υπάρχει ένα σύνολο για το οποίο κανένα στοιχείο δεν του ανήκει. Ως συνέπεια αυτού προκύπτει ότι το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

Στην θεωρία Zermelo-Fraenkel, το κενό σύνολο χρησιμοποιείται για την κατασκευή των φυσικών αριθμών και κατ'επέκταση των υπόλοιπων αριθμών. Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να οριστούν ως

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {0} &=\emptyset ,\\\mathrm {1} &=\{\emptyset \},\\\mathrm {2} &=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\\&\qquad \vdots \\\mathrm {n} &=\{\mathrm {0} ,\mathrm {1} ,\ldots ,\mathrm {n} -1\},\\&\qquad \vdots \end{aligned}}}
  • Το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

Απόδειξη  

Για κάθε στοιχείο {\displaystyle x},

{\displaystyle x\in S\cap \emptyset \Leftrightarrow x\in S\wedge x\in \emptyset \Leftrightarrow \mathrm {F} \Leftrightarrow x\in \emptyset .}

Επομένως, {\displaystyle S\cap \emptyset =\emptyset }.

Απόδειξη  

Για κάθε στοιχείο {\displaystyle x},

{\displaystyle x\in S\cup \emptyset \Leftrightarrow x\in S\vee x\in \emptyset \Leftrightarrow x\in S\vee x\in \emptyset \Leftrightarrow x\in S.}

Επομένως, {\displaystyle S\cup \emptyset =S}.

Απόδειξη  

Για κάθε στοιχείο {\displaystyle x}, έχουμε ότι

{\displaystyle x\in \emptyset \Rightarrow \mathrm {F} \Rightarrow x\in S}.

Επομένως, {\displaystyle \emptyset \subseteq S}.

  1. ↑ Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
  2. ↑ Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
  3. ↑ Ντζιώρας, Ηλίας Β. (1975). Μαθηματικά Ε' Γυμνασίου. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 20–22.