el.wikipedia.org

Συμμετρικός πίνακας - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας {\displaystyle A} που είναι ίσος με τον ανάστροφό του {\displaystyle A^{T}}, {\displaystyle A=A^{T}}. Δηλαδή, ένας πίνακας διαστάσεων {\displaystyle n\times n} είναι συμμετρικός αν και μόνο αν {\displaystyle A_{ij}=A_{ji}} για κάθε {\displaystyle 1\leq i,j\leq n}.[1]:36[2]:8[3]:16[4]:35[5]:68[6]:190

Η γενική μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διαστάσεων {\displaystyle n\times n} για {\displaystyle n=2,3,4}, είναι:

{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{A_{12}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{A_{23}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}&\color {orange}{A_{14}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{A_{23}}&\color {purple}{A_{24}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}&\color {magenta}{A_{34}}\\\color {orange}{A_{14}}&\color {purple}{A_{24}}&\color {magenta}{A_{34}}&A_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4},}

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους σε έναν συμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο, εξού και το όνομα του συμμετρικός πίνακας.

  • Παρακάτω δίνονται μερικοί συγκεκριμένοι συμμετρικοί πίνακες
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&\color {red}{7}\\\color {red}{7}&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{4.8}&-5.1&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{-6}&\color {green}{-3.4}&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-10&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7}&2&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{4.7}&\color {purple}{2.2}&\color {magenta}{3.5}&-5\end{bmatrix}}.}

Απόδειξη  

Έστω {\displaystyle \lambda } μία ιδιοτιμή και {\displaystyle v} ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτή την ιδιοτιμή. Τότε,

{\displaystyle Av=\lambda v.}

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με {\displaystyle v^{\dagger }}, έχουμε ότι

{\displaystyle {\begin{aligned}v^{\dagger }Av=\lambda \cdot v^{\dagger }v&\Rightarrow (v^{\dagger }Av)^{\dagger }=(\lambda \cdot v^{\dagger }v)^{\dagger }\\&\Rightarrow v^{\dagger }A^{\dagger }v=\lambda ^{*}\cdot v^{\dagger }v\\&\Rightarrow v^{\dagger }(Av)=\lambda ^{*}\cdot v^{\dagger }v\\&\Rightarrow \lambda v^{\dagger }v=\lambda ^{*}\cdot v^{\dagger }v\\&\Rightarrow (\lambda -\lambda ^{*})v^{\dagger }v=0\\&\Rightarrow \lambda =\lambda ^{*}.\end{aligned}}}
  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
  2. ↑ Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος.
  3. ↑ Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη.
  4. ↑ Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου.
  5. ↑ 5,0 5,1 Μυριτζής, Ιωάννης (2015). Δυναμικά συστήματα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7.
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.
  7. ↑ Παπαδημητράκης, Μιχάλης. «Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 22 Αυγούστου 2022.