el.wikipedia.org

Ταυτοτικός πίνακας - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στη γραμμική άλγεβρα, ο ταυτοτικός ή μοναδιαίος πίνακας είναι ο πίνακας ο οποίος έχει την μονάδα σε όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου και το μηδέν σε όλα τα άλλα στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα, σε έναν διανυσματικό χώρο {\displaystyle V} με {\displaystyle n} διαστάσεις, ο {\displaystyle n\times n} ταυτοτικός πίνακας είναι ο πίνακας {\displaystyle I_{n}} με[1]:34[2]:15[3]:7

{\displaystyle (I_{n})_{ij}={\begin{cases}1&{\text{αν }}i=j,\\0&{\text{διαφορετικά}},\end{cases}}}

για κάθε {\displaystyle 1\leq i,j\leq n}, όπου {\displaystyle 0} είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και {\displaystyle 1} το ουδέτερο στοιχείο του βαθμωτού πολλαπλασιασμού στον διανυσματικό χώρο. Η συνάρτηση στο δεξί μέλος είναι η συνάρτηση δέλτα του Κρόνεκερ, επομένως {\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}.[4]:33

Διαγραμματικά ο πίνακας δίνεται ως εξής:

{\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}
{\displaystyle A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A=A}
Δηλαδή, ο ταυτοτικός πίνακας είναι το ταυτοτικό (ή ουδέτερο) στοιχείο των πινάκων ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων.[1]: 34 
{\displaystyle A\cdot I_{m}=I_{n}\cdot A=A}.
  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
  2. ↑ Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη.
  3. ↑ Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος.
  4. ↑ Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.
  5. ↑ Bernstein, Dennis S. (2018). Scalar, Vector, and Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press. ISBN 9781400888252.