el.wikipedia.org

Τριγωνικός πίνακας - Βικιπαίδεια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην γραμμική άλγεβρα, άνω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο.[1]:36[2]:8[3]:16[4]:7[5]:69[6]:193 Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας {\displaystyle U} διαστάσεων {\displaystyle n\times n} όπου τα στοιχεία {\displaystyle U_{ij}=0} για κάθε {\displaystyle 1\leq j<i\leq n}. Για {\displaystyle n=2,3,4} η γενική τους μορφή είναι:

{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\0&U_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13}\\0&U_{22}&U_{23}\\0&0&U_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13}&U_{14}\\0&U_{22}&U_{23}&U_{24}\\0&0&U_{33}&U_{34}\\0&0&0&U_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4}.}

Αντίστοιχα, κάτω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας {\displaystyle L} διαστάσεων {\displaystyle n\times n} όπου τα στοιχεία {\displaystyle L_{ij}=0} για κάθε {\displaystyle 1\leq i<j\leq n}. Για {\displaystyle n=2,3,4} η γενική τους μορφή είναι:

{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0\\L_{21}&L_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0&0\\L_{21}&L_{22}&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0&0&0\\L_{21}&L_{22}&0&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}&0\\L_{41}&L_{42}&L_{43}&L_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4}.}

Ένας πίνακας λέγεται τριγωνικός αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικός.

  • Οι παρακάτω πίνακες είναι άνω τριγωνικοί:
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&8&9\\0&0&0&10\end{bmatrix}}.}
  • Οι παρακάτω πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί:
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\2&3&0&0\\4&5&6&0\\7&8&9&10\end{bmatrix}}.}
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&7&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad 0_{3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}

Οι τριγωνικοί πίνακες έχουν τις εξής ιδιότητες:

  • Ο ανάστροφος πίνακας ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός.
  • Το άθροισμα δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
  • Το γινόμενο δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
  • Ο αντίθετος ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι κάτω (άνω) τριγωνικός.
  • Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου.
  • Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα δίνεται από τον τύπο
{\displaystyle p_{L}(x)=\mathrm {det} (xI-L)=(x-L_{11})\cdot \ldots \cdot (x-L_{nn})}.
Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα {\displaystyle L} είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του.

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να γραφτεί με την μορφή {\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} } με αγνώστους {\displaystyle \mathbf {x} }. Τότε μπορούμε να βρούμε την λύση του ξεκινώντας βρίσκοντας το {\displaystyle x_{1}}, μετά το {\displaystyle x_{2}} κ.ο.κ., χρησιμοποιώντας τους εξής τύπους:

{\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{L_{11}}}},
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{L_{22}}}\cdot \left(b_{2}-L_{21}x_{1}\right)},
{\displaystyle \quad \vdots }
{\displaystyle x_{n}={\frac {1}{L_{nn}}}\cdot \left(b_{n}-L_{n1}x_{1}-\ldots -L_{n(n-1)}x_{n-1}\right)}.

Παρατηρήστε ότι στο {\displaystyle i}-οστό βήμα βρίσκουμε την τιμή του {\displaystyle x_{i}} χρησιμοποιώντας τις τιμές των {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{i-1}} (που έχουμε υπολογίσει στα προηγούμενα βήματα). Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται συνολικά {\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})} πράξεις.

Ένας άνω τριγωνικός πίνακας λέγεται αυστηρά άνω τριγωνικός, αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι μηδέν. Αντίστοιχα, για έναν αυστηρά κάτω τριγωνικό πίνακα.

  1. ↑ Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
  2. ↑ Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος.
  3. ↑ Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη.
  4. ↑ Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου.
  5. ↑ Μυριτζής, Ιωάννης (2015). Δυναμικά συστήματα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7.
  6. ↑ Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.