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Índice (teoría de grupos) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Este aviso fue puesto el 9 de octubre de 2011.

En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.

[1]​ Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por {\displaystyle \sim _{H}} (equivalencia por la izquierda) y {\displaystyle {}_{H}\!\!\sim } (equivalencia por la derecha). Se definen como:

Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como {\displaystyle gH} en el caso de {\displaystyle \sim _{H}}, o bien como {\displaystyle Hg} para {\displaystyle {}_{H}\!\!\sim }. Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:

  • {\displaystyle G:H:=G/\sim _{H}\,=\{gH:g\in G\}}
  • {\displaystyle H:G:=G/{}_{H}\!\!\sim \,=\{Hg:g\in G\}}

Sea G un grupo y sea {\displaystyle H\subseteq G} un subgrupo de G. Al cardinal

{\displaystyle i(H,G):=|H:G|=|G:H|}

se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para {\displaystyle i(H,G)} son {\displaystyle i_{G}(H)} o también {\displaystyle [G:H]}.

En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:

{\displaystyle i(H,G)=|G|/|H|}

donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.

  1. ↑ Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalidades. Teorema de Lagrange -- IV. Índice de un subgrupo». En Cuadernos de la UNED, ed. Teoría elemental de grupos. España: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6.