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3-variedad - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera {\displaystyle S^{3}\,}. Otro más es el espacio proyectivo {\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}. Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

{\displaystyle S^{2}\times S^{1}}
{\displaystyle \mathbb {R} P^{2}\times S^{1}}
{\displaystyle T\times S^{1}}
{\displaystyle K\times S^{1}}

O bien fibrados de la forma {\displaystyle S^{1}\subset E\to \Sigma }, donde {\displaystyle \Sigma } es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También tenemos los fibrados de las forma {\displaystyle F\subset E\to S^{1}}, siendo {\displaystyle F} una superficie cerrada. Estos son fuente de ejemplos muy importantes.

Hay 3-variedades con frontera, como la 3-bola unitaria {\displaystyle D^{3}\,} o el toro sólido {\displaystyle D^{2}\times S^{1}}, cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente. La botella de Klein sólida es otro ejemplo de tres variedad con frontera que es una superficie una botella de Klein.

También están todos los fibrados de la forma

{\displaystyle I\subset E\to F} (fibrado I)

donde {\displaystyle I} es un intervalo y {\displaystyle F} una superficie. Ejemplo es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein, {\displaystyle K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}}, que es el fibrado {\displaystyle I} que construye pegando dos toros sólidos identificando dos aros en la frontera, uno en cada uno de ellos. Cada uno de estos aros es la vecindad regular de una curva {\displaystyle (2,1)\,} dos-longitudes y un meridiano, i.e. un nudo tórico. Sabemos que su frontera, {\displaystyle \partial (K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O})}, es un toro {\displaystyle S^{1}\times S^{1}}. Además {\displaystyle K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}} corresponde a {\displaystyle M{\ddot {o}}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}}.

Otro ejemplo es el producto cartesiano {\displaystyle M{\ddot {o}}\times S^{1}} de la banda de Möbius con el círculo y el cual es {\displaystyle T{\stackrel {\sim }{\times }}I} y es diferente a {\displaystyle K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}}.

También la frontera {\displaystyle \partial (M{\ddot {o}}\times S^{1})} es {\displaystyle (\partial M{\ddot {o}})\times S^{1}}, lo cual, también es un toro {\displaystyle S^{1}\times S^{1}}.

Algunas clases de 3-variedades

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Resultados Fundamentales

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  • Teorema de Descomposición Prima[1]
  • Teorema de Moise
  • Descomposición de JSJ[2]
  • Teoremas del Lazo y la Esfera[3] (que generalizan el Lema de Dehn).
  • Teorema de Geometrización para variedades de Haken
  • Teorema de Lickorish-Wallace
  • J. Hempel. 3-manifolds. Annals of mathematics studies No.86. Princeton Univ. Press. 1976. ISBN 0-691-08178-6, ISBN 0-691-08183-2 pbk
  • D. Rolfsen Knots and Links. Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca.: Publish Perish, Inc. 1976.
  • A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds. En línea disponible en [5]