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Cúbica alabeada - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Imagen de una cúbica alabeada

En matemáticas, una cúbica alabeada es una curva suave y racional C de grado tres en el espacio proyectivo tridimensional P3.[1]​ Es un ejemplo fundamental de una curva oblicua. Es esencialmente única respecto a la transformación proyectiva (por lo tanto, es la cúbica alabeada). Generalmente se considera el ejemplo más simple de una variedad proyectiva que no es lineal o hipersuperficial, y se da como tal en la mayoría de los libros de texto sobre geometría algebraica. Es el caso tridimensional de la curva normal racional, y es la imagen de una aplicación de Veronese de grado tres sobre la recta proyectiva.

La cúbica alabeada se da más fácilmente de forma paramétrica como la imagen de la aplicación

{\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}}

en la que se asigna a la coordenada homogénea {\displaystyle [S:T]} el valor

{\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].}

En un entorno coordenado del espacio proyectivo, la aplicación es simplemente la curva de momento

{\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})}

Es decir, es el cierre por un solo punto en el infinito de la curva afín {\displaystyle (x,x^{2},x^{3})}.

De manera equivalente, es una variedad proyectiva, definida como el lugar geométrico cero de tres cuádricas lisas. Dadas las coordenadas homogéneas {\displaystyle [X:Y:Z:W]} en P3, es el lugar geométrico cero de los tres polinomios homogéneos

{\displaystyle F_{0}=XZ-Y^{2}}
{\displaystyle F_{1}=YW-Z^{2}}
{\displaystyle F_{2}=XW-YZ.}

Se puede verificar que estas tres formas cuadráticas desvanecen de manera idéntica cuando se usa la parametrización explícita anterior; es decir, sustituyendo x3 por X, y así sucesivamente.

De hecho, el ideal homogéneo de la cúbica alabeada C es generado por tres formas algebraicas de grado dos en P3. Los generadores del ideal son

{\displaystyle \{XZ-Y^{2},YW-Z^{2},XW-YZ\}.}

La cúbica alabeada tiene numerosas propiedades elementales:

  1. ↑ P. W. Wood (2015). The Twisted Cubic. Cambridge University Press. pp. 76 de 92. ISBN 9781107493728. Consultado el 1 de enero de 2020.
  • Harris, Joe (1992), Algebraic Geometry, A First Course, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3.